Leysa 4x^2-5x-1=0

$$4 x ^ { 2 } - 5 x - 1 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = \frac{\sqrt{41} + 5}{8} \approx 1.42539053$$

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}\approx -0.17539053$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, -5 inn fyrir b og -1 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Hefðu -5 í annað veldi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum -1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+16}}{2\times 4}$$

Leggðu 25 saman við 16.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Gagnstæð tala tölunnar -5 er 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{5±\sqrt{41}}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} þegar ± er plús. Leggðu 5 saman við \sqrt{41}.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{5±\sqrt{41}}{8} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{41} frá 5.

$$x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x-1=0$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4x^{2}-5x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Ef -1 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}-5x=-\left(-1\right)$$

Dragðu -1 frá 0.

$$4x^{2}-5x=1$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=\frac{1}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=\frac{1}{4}$$

Deildu -\frac{5}{4}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{5}{8}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{5}{8} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{5}{8} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{1}{4}+\frac{25}{64}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við \frac{25}{64} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=\frac{41}{64}$$

Stuðull x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{41}{64}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{41}{64}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{\sqrt{41}}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{\sqrt{41}}{8}$$

Leggðu \frac{5}{8} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{\sqrt{41}+5}{8} x=\frac{5-\sqrt{41}}{8}$$