Leysa 4x^2+28x+53=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 53 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=-\frac{7}{2}+i=-3.5+i$$

$$x=-\frac{7}{2}-i=-3.5-i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 4 inn fyrir a, 28 inn fyrir b og 53 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Hefðu 28 í annað veldi.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 53}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 53}}{2\times 4}$$

Margfaldaðu -16 sinnum 53.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-848}}{2\times 4}$$

Leggðu 784 saman við -848.

$$x=\frac{-28±\sqrt{-64}}{2\times 4}$$

Finndu kvaðratrót -64.

$$x=\frac{-28±8i}{2\times 4}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 4.

$$x=\frac{-28±8i}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-28±8i}{8} þegar ± er plús. Leggðu -28 saman við 8i.

$$x=\frac{-28+8i}{8}$$

Deildu -28+8i með 8.

$$x=-\frac{7}{2}+i$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-28±8i}{8} þegar ± er mínus. Dragðu 8i frá -28.

$$x=\frac{-28-8i}{8}$$

Deildu -28-8i með 8.

$$x=-\frac{7}{2}-i$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+53=0$$

Dragðu 53 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x^{2}+28x+53-53=-53$$

Ef 53 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$4x^{2}+28x=-53$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{53}{4}$$

Að deila með 4 afturkallar margföldun með 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{53}{4}$$

Deildu 28 með 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{53}{4}$$

Deildu 7, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{7}{2}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{7}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-\frac{53}{4}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{7}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{-53+49}{4}$$

Leggðu -\frac{53}{4} saman við \frac{49}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-1$$

Stuðull x^{2}+7x+\frac{49}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=-1$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-1}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{7}{2}=i x+\frac{7}{2}=-i$$

Dragðu \frac{7}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{7}{2}+i x=-\frac{7}{2}-i$$