Leysa 3z^2+3z+20=0

$$3 z ^ { 2 } + 3 z + 20 = 0$$

Leystu fyrir z

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5+2.533114026i$$

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}\approx -0.5-2.533114026i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, 3 inn fyrir b og 20 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Hefðu 3 í annað veldi.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 20}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 20}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum 20.

$$z=\frac{-3±\sqrt{9-240}}{2\times 3}$$

Leggðu 9 saman við -240.

$$z=\frac{-3±\sqrt{-231}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót -231.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6}$$

Leystu nú jöfnuna z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} þegar ± er plús. Leggðu -3 saman við i\sqrt{231}.

$$z=\frac{-3+\sqrt{231}i}{6}$$

Deildu -3+i\sqrt{231} með 6.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Leystu nú jöfnuna z=\frac{-3±\sqrt{231}i}{6} þegar ± er mínus. Dragðu i\sqrt{231} frá -3.

$$z=\frac{-\sqrt{231}i-3}{6}$$

Deildu -3-i\sqrt{231} með 6.

$$z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+3z+20=0$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3z^{2}+3z+20-20=-20$$

Ef 20 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3z^{2}+3z=-20$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3z^{2}+3z}{3}=-\frac{20}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$z^{2}+\frac{3}{3}z=-\frac{20}{3}$$

Deildu 3 með 3.

$$z^{2}+z=-\frac{20}{3}$$

Deildu 1, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{1}{2}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{1}{2} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$z^{2}+z+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{20}{3}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{1}{2} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{20}{3}+\frac{1}{4}$$

Leggðu -\frac{20}{3} saman við \frac{1}{4} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$z^{2}+z+\frac{1}{4}=-\frac{77}{12}$$

Stuðull z^{2}+z+\frac{1}{4}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{77}{12}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(z+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{77}{12}}$$

Einfaldaðu.

$$z+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{231}i}{6} z+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{231}i}{6}$$

Dragðu \frac{1}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$z=\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2} z=-\frac{\sqrt{231}i}{6}-\frac{1}{2}$$