Leysa 3x^4+24x^3+48x^2-x^2-8x-16

$$3 x ^ { 4 } + 24 x ^ { 3 } + 48 x ^ { 2 } - x ^ { 2 } - 8 x - 16$$

Stuðull

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Lausnarskref

Margfalda og sameina samsvarandi liði.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$

Til að þátta segðina skaltu leysa jöfnuna þar sem hún jafngildir 0.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -16 og q deilir forystustuðlinum 3. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{16}{3},±16,±\frac{8}{3},±8,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-4$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16 með x+4 til að fá 3x^{3}+12x^{2}-x-4. Til að þátta niðurstöðuna skaltu leysa jöfnuna þar sem hún jafngildir 0.

$$3x^{3}+12x^{2}-x-4=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -4 og q deilir forystustuðlinum 3. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-4$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 3x^{3}+12x^{2}-x-4 með x+4 til að fá 3x^{2}-1. Til að þátta niðurstöðuna skaltu leysa jöfnuna þar sem hún jafngildir 0.

$$3x^{2}-1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 3 fyrir a, 0 fyrir b og -1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{0±2\sqrt{3}}{6}$$

Leystu jöfnuna 3x^{2}-1=0 þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=-\frac{\sqrt{3}}{3} x=\frac{\sqrt{3}}{3}$$

Endurskrifaðu þáttuðu segðina með rótunum sem fengust. Margliðan 3x^{2}-1 hefur ekki verið þáttuð þar sem hún er ekki með neinar ræðar rætur.

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Meta

$$\left(3x^{2}-1\right)\left(x+4\right)^{2}$$

Lausnarskref

Sameinaðu 48x^{2} og -x^{2} til að fá 47x^{2}.

$$3x^{4}+24x^{3}+47x^{2}-8x-16$$