Leysa 3x^2+8x-11=0

$$3 x ^ { 2 } + 8 x - 11 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

$$x=1$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 3x^{2}+ax+bx-11. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=8 ab=3\left(-11\right)=-33$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er plús er plústalan hærri en mínustalan. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -33.

$$-1,33 -3,11$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$-1+33=32 -3+11=8$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 8.

$$a=-3 b=11$$

Endurskrifa 3x^{2}+8x-11 sem \left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(11x-11\right)$$

Taktu 3x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 11 í öðrum hópi.

$$3x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-1\right)\left(3x+11\right)$$

Leystu x-1=0 og 3x+11=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 3 inn fyrir a, 8 inn fyrir b og -11 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Hefðu 8 í annað veldi.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 3\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 3.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-12\left(-11\right)}}{2\times 3}$$

Margfaldaðu -12 sinnum -11.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+132}}{2\times 3}$$

Leggðu 64 saman við 132.

$$x=\frac{-8±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Finndu kvaðratrót 196.

$$x=\frac{-8±14}{2\times 3}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 3.

$$x=\frac{-8±14}{6}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-8±14}{6} þegar ± er plús. Leggðu -8 saman við 14.

$$x=\frac{6}{6}$$

Deildu 6 með 6.

$$x=1$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-8±14}{6} þegar ± er mínus. Dragðu 14 frá -8.

$$x=-\frac{22}{6}$$

Minnka brotið \frac{-22}{6} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+8x-11=0$$

Leggðu 11 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x^{2}+8x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Ef -11 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$3x^{2}+8x=-\left(-11\right)$$

Dragðu -11 frá 0.

$$3x^{2}+8x=11$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$\frac{3x^{2}+8x}{3}=\frac{11}{3}$$

Að deila með 3 afturkallar margföldun með 3.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{11}{3}$$

Deildu \frac{8}{3}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{4}{3}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{4}{3} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{11}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{4}{3} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{11}{3}+\frac{16}{9}$$

Leggðu \frac{11}{3} saman við \frac{16}{9} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{9}$$

Stuðull x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{3}$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=1 x=-\frac{11}{3}$$