Leysa 23x^2+5x+3=0

$$23 x ^ { 2 } + 5 x + 3 = 0$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}\approx -0.108695652+0.344412598i$$

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}\approx -0.108695652-0.344412598i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 23 inn fyrir a, 5 inn fyrir b og 3 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Hefðu 5 í annað veldi.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 23\times 3}}{2\times 23}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-92\times 3}}{2\times 23}$$

Margfaldaðu -92 sinnum 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-276}}{2\times 23}$$

Leggðu 25 saman við -276.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-251}}{2\times 23}$$

Finndu kvaðratrót -251.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{2\times 23}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 23.

$$x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} þegar ± er plús. Leggðu -5 saman við i\sqrt{251}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-5±\sqrt{251}i}{46} þegar ± er mínus. Dragðu i\sqrt{251} frá -5.

$$x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$23x^{2}+5x+3=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$23x^{2}+5x+3-3=-3$$

Ef 3 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$23x^{2}+5x=-3$$

Deildu báðum hliðum með 23.

$$\frac{23x^{2}+5x}{23}=-\frac{3}{23}$$

Að deila með 23 afturkallar margföldun með 23.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x=-\frac{3}{23}$$

Deildu \frac{5}{23}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{5}{46}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{5}{46} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{3}{23}+\left(\frac{5}{46}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{5}{46} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{3}{23}+\frac{25}{2116}$$

Leggðu -\frac{3}{23} saman við \frac{25}{2116} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}=-\frac{251}{2116}$$

Stuðull x^{2}+\frac{5}{23}x+\frac{25}{2116}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}=-\frac{251}{2116}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{46}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{251}{2116}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{5}{46}=\frac{\sqrt{251}i}{46} x+\frac{5}{46}=-\frac{\sqrt{251}i}{46}$$

Dragðu \frac{5}{46} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{-5+\sqrt{251}i}{46} x=\frac{-\sqrt{251}i-5}{46}$$