Leysa 2x^2-x-15=0

$$2 x ^ { 2 } - x - 15 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=3$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 2x^{2}+ax+bx-15. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Fyrst ab er mínus hafa a og b gagnstæð merki. Fyrst a+b er mínus hefur neikvæða talan hærra algildi en sú jákvæða. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Lausnin er parið sem gefur summuna -1.

$$a=-6 b=5$$

Endurskrifa 2x^{2}-x-15 sem \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Taktu 2x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 5 í öðrum hópi.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn x-3 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Leystu x-3=0 og 2x+5=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 2 inn fyrir a, -1 inn fyrir b og -15 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 2.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

Leggðu 1 saman við 120.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Finndu kvaðratrót 121.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±11}{2\times 2}$$

Gagnstæð tala tölunnar -1 er 1.

$$x=\frac{1±11}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 2.

$$x=\frac{1±11}{4}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{1±11}{4} þegar ± er plús. Leggðu 1 saman við 11.

$$x=\frac{12}{4}$$

Deildu 12 með 4.

$$x=3$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{1±11}{4} þegar ± er mínus. Dragðu 11 frá 1.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Minnka brotið \frac{-10}{4} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-x-15=0$$

Leggðu 15 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x^{2}-x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Ef -15 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$2x^{2}-x=-\left(-15\right)$$

Dragðu -15 frá 0.

$$2x^{2}-x=15$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$\frac{2x^{2}-x}{2}=\frac{15}{2}$$

Að deila með 2 afturkallar margföldun með 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{15}{2}$$

Deildu -\frac{1}{2}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{1}{4}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{1}{4} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{1}{4} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{15}{2}+\frac{1}{16}$$

Leggðu \frac{15}{2} saman við \frac{1}{16} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{121}{16}$$

Stuðull x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Einfaldaðu.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Leggðu \frac{1}{4} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3 x=-\frac{5}{2}$$