Leysa 2x^2-10x=6+11sqrt{x^2-5x}

$$2 x ^ { 2 } - 10 x = 6 + 11 \sqrt { x ^ { 2 } - 5 x }$$

Leystu fyrir x

$$x=-4$$

$$x=9$$

Lausnarskref

Dragðu 6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}$$

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(2x^{2}-10x-6\right)^{2}=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Hefðu 2x^{2}-10x-6 í annað veldi.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=\left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Víkka \left(11\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=11^{2}\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Reiknaðu 11 í 2. veldi og fáðu 121.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(\sqrt{x^{2}-5x}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{2}-5x} í 2. veldi og fáðu x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121\left(x^{2}-5x\right)$$

Notaðu dreifieiginleika til að margfalda 121 með x^{2}-5x.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36=121x^{2}-605x$$

Dragðu 121x^{2} frá báðum hliðum.

$$4x^{4}-40x^{3}+76x^{2}+120x+36-121x^{2}=-605x$$

Sameinaðu 76x^{2} og -121x^{2} til að fá -45x^{2}.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36=-605x$$

Bættu 605x við báðar hliðar.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+120x+36+605x=0$$

Sameinaðu 120x og 605x til að fá 725x.

$$4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 36 og q deilir forystustuðlinum 4. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±9,±18,±36,±\frac{9}{2},±3,±6,±12,±\frac{9}{4},±\frac{3}{2},±1,±2,±4,±\frac{3}{4},±\frac{1}{2},±\frac{1}{4}$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=-4$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 4x^{4}-40x^{3}-45x^{2}+725x+36 með x+4 til að fá 4x^{3}-56x^{2}+179x+9. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$4x^{3}-56x^{2}+179x+9=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum 9 og q deilir forystustuðlinum 4. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{9}{4},±\frac{9}{2},±9,±\frac{3}{4},±\frac{3}{2},±3,±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=9$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 4x^{3}-56x^{2}+179x+9 með x-9 til að fá 4x^{2}-20x-1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$4x^{2}-20x-1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 4 fyrir a, -20 fyrir b og -1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{20±4\sqrt{26}}{8}$$

Leystu jöfnuna 4x^{2}-20x-1=0 þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=-4 x=9 x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} x=\frac{\sqrt{26}+5}{2}$$

Settu -4 inn fyrir x í hinni jöfnunni 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\left(-4\right)^{2}-10\left(-4\right)=6+11\sqrt{\left(-4\right)^{2}-5\left(-4\right)}$$

Einfaldaðu. Gildið x=-4 uppfyllir jöfnuna.

$$72=72$$

Settu 9 inn fyrir x í hinni jöfnunni 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times 9^{2}-10\times 9=6+11\sqrt{9^{2}-5\times 9}$$

Einfaldaðu. Gildið x=9 uppfyllir jöfnuna.

$$72=72$$

Settu \frac{5-\sqrt{26}}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-10\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{5-\sqrt{26}}{2}\right)^{2}-5\times \frac{5-\sqrt{26}}{2}}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\frac{5-\sqrt{26}}{2} uppfyllir ekki jöfnuna.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Settu \frac{\sqrt{26}+5}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni 2x^{2}-10x=6+11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$2\times \left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-10\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}=6+11\sqrt{\left(\frac{\sqrt{26}+5}{2}\right)^{2}-5\times \frac{\sqrt{26}+5}{2}}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\frac{\sqrt{26}+5}{2} uppfyllir ekki jöfnuna.

$$\frac{1}{2}=\frac{23}{2}$$

Skrá allar lausnir 2x^{2}-10x-6=11\sqrt{x^{2}-5x}.

$$x=-4 x=9$$