Leysa 2x^2+5x+1<0

$$2 x ^ { 2 } + 5 x + 1 < 0$$

Leystu fyrir x

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Skref með annars stigs formúlu

Þáttaðu vinstri hliðina til að leysa ójöfnuna. Þætta má margliðu með færslunni ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), þar sem x_{1} og x_{2} eru rætur annars stigs jöfnunnar ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+5x+1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 2 fyrir a, 5 fyrir b og 1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 2\times 1}}{2\times 2}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4}$$

Leystu jöfnuna x=\frac{-5±\sqrt{17}}{4} þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=\frac{\sqrt{17}-5}{4} x=\frac{-\sqrt{17}-5}{4}$$

Endurskrifaðu ójöfnuna með því a nota niðurstöðuna.

$$2\left(x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}\right)<0$$

Til að margfeldi verði jákvætt þarf önnur af x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} og x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} að vera neikvæð og hin jákvæð. Skoðaðu þegar x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} er jákvætt og x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} er neikvætt.

$$x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Þetta er ósatt fyrir x.

$$x\in \emptyset$$

Skoðaðu þegar x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4} er jákvætt og x-\frac{\sqrt{17}-5}{4} er neikvætt.

$$x-\frac{-\sqrt{17}-5}{4}>0 x-\frac{\sqrt{17}-5}{4}<0$$

Lausnin sem uppfyllir báðar ójöfnur er x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right).

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$

Endanleg lausn er sammengi fenginna lausna.

$$x\in \left(\frac{-\sqrt{17}-5}{4},\frac{\sqrt{17}-5}{4}\right)$$