Leysa 16x^2+74x+9=0

$$16 x ^ { 2 } + 74 x + 9 = 0$$

Leystu fyrir x

$$x = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4.5$$

$$x=-\frac{1}{8}=-0.125$$

Skref sem nota þáttun með flokkun

Þáttaðu vinstri hliðina með því að flokka til að leysa jöfnuna. Fyrst þarf að endurskrifa vinstri hlið sem 16x^{2}+ax+bx+9. Settu upp kerfi til að leysa til þess að finna a og b.

$$a+b=74 ab=16\times 9=144$$

Fyrst ab er plús hafa a og b sama merki. Fyrst a+b er plús eru a og b bæði plús. Skráðu inn öll slík pör sem gefa margfeldið 144.

$$1,144 2,72 3,48 4,36 6,24 8,18 9,16 12,12$$

Reiknaðu summuna fyrir hvert par.

$$1+144=145 2+72=74 3+48=51 4+36=40 6+24=30 8+18=26 9+16=25 12+12=24$$

Lausnin er parið sem gefur summuna 74.

$$a=2 b=72$$

Endurskrifa 16x^{2}+74x+9 sem \left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right).

$$\left(16x^{2}+2x\right)+\left(72x+9\right)$$

Taktu 2x út fyrir sviga í fyrsta hópi og 9 í öðrum hópi.

$$2x\left(8x+1\right)+9\left(8x+1\right)$$

Taktu sameiginlega liðinn 8x+1 út fyrir sviga með því að nota dreifieiginleika.

$$\left(8x+1\right)\left(2x+9\right)$$

Leystu 8x+1=0 og 2x+9=0 til að finna lausnir jöfnunnar.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 16 inn fyrir a, 74 inn fyrir b og 9 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-74±\sqrt{74^{2}-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Hefðu 74 í annað veldi.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-4\times 16\times 9}}{2\times 16}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 16.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-64\times 9}}{2\times 16}$$

Margfaldaðu -64 sinnum 9.

$$x=\frac{-74±\sqrt{5476-576}}{2\times 16}$$

Leggðu 5476 saman við -576.

$$x=\frac{-74±\sqrt{4900}}{2\times 16}$$

Finndu kvaðratrót 4900.

$$x=\frac{-74±70}{2\times 16}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 16.

$$x=\frac{-74±70}{32}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-74±70}{32} þegar ± er plús. Leggðu -74 saman við 70.

$$x=-\frac{4}{32}$$

Minnka brotið \frac{-4}{32} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 4.

$$x=-\frac{1}{8}$$

Leystu nú jöfnuna x=\frac{-74±70}{32} þegar ± er mínus. Dragðu 70 frá -74.

$$x=-\frac{144}{32}$$

Minnka brotið \frac{-144}{32} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 16.

$$x=-\frac{9}{2}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}+74x+9=0$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$16x^{2}+74x+9-9=-9$$

Ef 9 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$16x^{2}+74x=-9$$

Deildu báðum hliðum með 16.

$$\frac{16x^{2}+74x}{16}=-\frac{9}{16}$$

Að deila með 16 afturkallar margföldun með 16.

$$x^{2}+\frac{74}{16}x=-\frac{9}{16}$$

Minnka brotið \frac{74}{16} eins mikið og hægt er með því að draga og stytta út 2.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x=-\frac{9}{16}$$

Deildu \frac{37}{8}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá \frac{37}{16}. Leggðu síðan tvíveldi \frac{37}{16} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}=-\frac{9}{16}+\left(\frac{37}{16}\right)^{2}$$

Hefðu \frac{37}{16} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=-\frac{9}{16}+\frac{1369}{256}$$

Leggðu -\frac{9}{16} saman við \frac{1369}{256} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}=\frac{1225}{256}$$

Stuðull x^{2}+\frac{37}{8}x+\frac{1369}{256}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}=\frac{1225}{256}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(x+\frac{37}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{256}}$$

Einfaldaðu.

$$x+\frac{37}{16}=\frac{35}{16} x+\frac{37}{16}=-\frac{35}{16}$$

Dragðu \frac{37}{16} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-\frac{1}{8} x=-\frac{9}{2}$$