Leysa -16/5t^2+6t=45

$$- \frac { 16 } { 5 } t ^ { 2 } + 6 t = 45$$

Leystu fyrir t

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}\approx 0.9375+3.630921887i$$

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}\approx 0.9375-3.630921887i$$

Skref með annars stigs formúlu

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Annars stigs formúlan veitir tvær lausnir, eina þegar ± er bætt við og eina þegar það er dregið frá.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=45-45$$

Ef 45 er dregið frá sjálfu sér verður 0 eftir.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t-45=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu -\frac{16}{5} inn fyrir a, 6 inn fyrir b og -45 inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Hefðu 6 í annað veldi.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-\frac{16}{5}\right)\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Margfaldaðu -4 sinnum -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36+\frac{64}{5}\left(-45\right)}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Margfaldaðu \frac{64}{5} sinnum -45.

$$t=\frac{-6±\sqrt{36-576}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Leggðu 36 saman við -576.

$$t=\frac{-6±\sqrt{-540}}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Finndu kvaðratrót -540.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{2\left(-\frac{16}{5}\right)}$$

Margfaldaðu 2 sinnum -\frac{16}{5}.

$$t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Leystu nú jöfnuna t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}} þegar ± er plús. Leggðu -6 saman við 6i\sqrt{15}.

$$t=\frac{-6+6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}}$$

Deildu -6+6i\sqrt{15} með -\frac{32}{5} með því að margfalda -6+6i\sqrt{15} með umhverfu -\frac{32}{5}.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$

Leystu nú jöfnuna t=\frac{-6±6\sqrt{15}i}{-\frac{32}{5}} þegar ± er mínus. Dragðu 6i\sqrt{15} frá -6.

$$t=\frac{-6\sqrt{15}i-6}{-\frac{32}{5}}$$

Deildu -6-6i\sqrt{15} með -\frac{32}{5} með því að margfalda -6-6i\sqrt{15} með umhverfu -\frac{32}{5}.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Leyst var úr jöfnunni.

$$t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16} t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16}$$

Skref til að uppfylla ferning

Annars stigs jöfnur eins og þessa má leysa með því að færa í annað veldi. Til að uppfylla ferninginn þarf formúlan fyrst að vera í forminu x^{2}+bx=c.

$$-\frac{16}{5}t^{2}+6t=45$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{16}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$\frac{-\frac{16}{5}t^{2}+6t}{-\frac{16}{5}}=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Að deila með -\frac{16}{5} afturkallar margföldun með -\frac{16}{5}.

$$t^{2}+\frac{6}{-\frac{16}{5}}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Deildu 6 með -\frac{16}{5} með því að margfalda 6 með umhverfu -\frac{16}{5}.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=\frac{45}{-\frac{16}{5}}$$

Deildu 45 með -\frac{16}{5} með því að margfalda 45 með umhverfu -\frac{16}{5}.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t=-\frac{225}{16}$$

Deildu -\frac{15}{8}, stuðli x-liðarins, með 2 til að fá -\frac{15}{16}. Leggðu síðan tvíveldi -\frac{15}{16} við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta skref gerir vinstri hlið jöfnunnar að ferningstölu.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{225}{16}+\left(-\frac{15}{16}\right)^{2}$$

Hefðu -\frac{15}{16} í annað veldi með því að hefja bæði teljara og samnefnara brotsins í annað veldi.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{225}{16}+\frac{225}{256}$$

Leggðu -\frac{225}{16} saman við \frac{225}{256} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}=-\frac{3375}{256}$$

Stuðull t^{2}-\frac{15}{8}t+\frac{225}{256}. Almennt séð, þegar x^{2}+bx+c er ferningstala, er alltaf hægt að þátta hana sem \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}=-\frac{3375}{256}$$

Finndu kvaðratrót beggja hliða jöfnunar.

$$\sqrt{\left(t-\frac{15}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3375}{256}}$$

Einfaldaðu.

$$t-\frac{15}{16}=\frac{15\sqrt{15}i}{16} t-\frac{15}{16}=-\frac{15\sqrt{15}i}{16}$$

Leggðu \frac{15}{16} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$t=\frac{15+15\sqrt{15}i}{16} t=\frac{-15\sqrt{15}i+15}{16}$$