Leysa sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=sqrt{x^4+2{x}^2}

$$\sqrt{ { x }^{ 4 } +8 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -1 } = \sqrt{ { x }^{ 4 } +2 { x }^{ 2 } }$$

Leystu fyrir x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\approx -0.25-0.433012702i$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\approx -0.25+0.433012702i$$

Lausnarskref

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} í 2. veldi og fáðu x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{4}+2x^{2}} í 2. veldi og fáðu x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Dragðu x^{4} frá báðum hliðum.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Sameinaðu x^{4} og -x^{4} til að fá 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Dragðu 2x^{2} frá báðum hliðum.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Sameinaðu 2x^{2} og -2x^{2} til að fá 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -1 og q deilir forystustuðlinum 8. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=\frac{1}{2}$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 8x^{3}-1 með 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 til að fá 4x^{2}+2x+1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 4 fyrir a, 2 fyrir b og 1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Leystu jöfnuna 4x^{2}+2x+1=0 þegar ± er plús og þegar ± er mínus.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Settu \frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\frac{1}{2} uppfyllir jöfnuna.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Settu \frac{-\sqrt{3}i-1}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} uppfyllir jöfnuna.

$$\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Settu \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4} uppfyllir jöfnuna.

$$\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Skrá allar lausnir \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Leystu fyrir x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Lausnarskref

Hefðu báðar hliðar jöfnunar í annað veldi.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} í 2. veldi og fáðu x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Reiknaðu \sqrt{x^{4}+2x^{2}} í 2. veldi og fáðu x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Dragðu x^{4} frá báðum hliðum.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Sameinaðu x^{4} og -x^{4} til að fá 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Dragðu 2x^{2} frá báðum hliðum.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Sameinaðu 2x^{2} og -2x^{2} til að fá 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Samkvæmt reglunni um ræðar rætur eru allar ræðar rætur margliða á forminu \frac{p}{q}, þar sem p deilir fastaliðnum -1 og q deilir forystustuðlinum 8. Teldu upp alla möguleika fyrir \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Finndu eina slíka rót með því að prófa öll heiltölugildi frá og með lægsta algildinu. Ef engar heiltölurætur finnast skaltu reyna tugabrot.

$$x=\frac{1}{2}$$

Samkvæmt reglunni um þætti er x-k þáttur margliðu fyrir hverja rót k. Deildu 8x^{3}-1 með 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 til að fá 4x^{2}+2x+1. Leystu jöfnuna þar sem niðurstaðan jafngildir 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Allar jöfnur eyðublaðsins ax^{2}+bx+c=0 má leysa með annars stigs formúlunni: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Skiptu út 4 fyrir a, 2 fyrir b og 1 fyrir c í annars stigs formúlunni.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Reiknaðu.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Þar sem kvaðratrót neikvæðar tölu er ekki skilgreind í reit rauntölu eru engar lausnir.

$$x\in \emptyset$$

Birta allar fundnar lausnir.

$$x=\frac{1}{2}$$

Settu \frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Einfaldaðu. Gildið x=\frac{1}{2} uppfyllir jöfnuna.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Jafnan \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} hefur einstaka lausn.

$$x=\frac{1}{2}$$