Leysa {l}{5x-y=3}{-2x+4y=-12}

$$\left.\begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = - 12 } \end{array} \right\}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=3,-2x+4y=-12$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=3$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+3$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+3.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Settu \frac{3+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+4y=-12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=-12$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{3+y}{5}.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=-12$$

Leggðu -\frac{2y}{5} saman við 4y.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=-12$$

Leggðu \frac{6}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{18}{5}y=-\frac{54}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{18}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\left(-3\right)+\frac{3}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -3.

$$x=\frac{-3+3}{5}$$

Leggðu \frac{3}{5} saman við -\frac{3}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=3,-2x+4y=-12$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-12\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\left(-12\right)\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\left(-12\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=-3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=3,-2x+4y=-12$$

Til að gera 5x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\left(-12\right)$$

Einfaldaðu.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=-60$$

Dragðu -10x+20y=-60 frá -10x+2y=-6 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-10x+10x+2y-20y=-6+60$$

Leggðu -10x saman við 10x. Liðirnir -10x og 10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-20y=-6+60$$

Leggðu 2y saman við -20y.

$$-18y=-6+60$$

Leggðu -6 saman við 60.

$$-18y=54$$

Deildu báðum hliðum með -18.

$$y=-3$$

Skiptu -3 út fyrir y í -2x+4y=-12. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x+4\left(-3\right)=-12$$

Margfaldaðu 4 sinnum -3.

$$-2x-12=-12$$

Leggðu 12 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=0$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=-3$$