Leysa {c}{3x+2y=5}{x+3y=-3}

$$\left.\begin{array} { c } { 3 x + 2 y = 5 } \\ { x + 3 y = - 3 } \end{array} \right\}$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$3x+2y=5$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-2y+5$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum -2y+5.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}$$

Settu \frac{-2y+5}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=-3.

$$-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}+3y=-3$$

Leggðu -\frac{2y}{3} saman við 3y.

$$\frac{7}{3}y+\frac{5}{3}=-3$$

Dragðu \frac{5}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{3}y=-\frac{14}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{2}{3}y+\frac{5}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-2\right)+\frac{5}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{2}{3} sinnum -2.

$$x=\frac{4+5}{3}$$

Leggðu \frac{5}{3} saman við \frac{4}{3} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3\times 3-2}&-\frac{2}{3\times 3-2}\\-\frac{1}{3\times 3-2}&\frac{3}{3\times 3-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}&-\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{3}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7}\times 5-\frac{2}{7}\left(-3\right)\\-\frac{1}{7}\times 5+\frac{3}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3x+2y=5,x+3y=-3$$

Til að gera 3x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3x+2y=5,3x+3\times 3y=3\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$3x+2y=5,3x+9y=-9$$

Dragðu 3x+9y=-9 frá 3x+2y=5 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3x-3x+2y-9y=5+9$$

Leggðu 3x saman við -3x. Liðirnir 3x og -3x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-9y=5+9$$

Leggðu 2y saman við -9y.

$$-7y=5+9$$

Leggðu 5 saman við 9.

$$-7y=14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x+3y=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\left(-2\right)=-3$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2.

$$x-6=-3$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-2$$