Leysa {l}{2x+y=18}{5x+2y=40}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x + y = 18 }\\{ 5 x + 2 y = 40 }\end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=10$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+y=18,5x+2y=40$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+y=18$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-y+18$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -y+18.

$$x=-\frac{1}{2}y+9$$

Settu -\frac{y}{2}+9 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+2y=40.

$$5\left(-\frac{1}{2}y+9\right)+2y=40$$

Margfaldaðu 5 sinnum -\frac{y}{2}+9.

$$-\frac{5}{2}y+45+2y=40$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við 2y.

$$-\frac{1}{2}y+45=40$$

Dragðu 45 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{2}y=-5$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -2.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í x=-\frac{1}{2}y+9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{2}\times 10+9$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum 10.

$$x=-5+9$$

Leggðu 9 saman við -5.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=10$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+y=18,5x+2y=40$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&1\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-5}&-\frac{1}{2\times 2-5}\\-\frac{5}{2\times 2-5}&\frac{2}{2\times 2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\40\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\times 18+40\\5\times 18-2\times 40\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=10$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+y=18,5x+2y=40$$

Til að gera 2x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$5\times 2x+5y=5\times 18,2\times 5x+2\times 2y=2\times 40$$

Einfaldaðu.

$$10x+5y=90,10x+4y=80$$

Dragðu 10x+4y=80 frá 10x+5y=90 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x+5y-4y=90-80$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-4y=90-80$$

Leggðu 5y saman við -4y.

$$y=90-80$$

Leggðu 90 saman við -80.

$$y=10$$

Skiptu 10 út fyrir y í 5x+2y=40. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+2\times 10=40$$

Margfaldaðu 2 sinnum 10.

$$5x+20=40$$

Dragðu 20 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=10$$