Leysa {r}{x+2y=8}{2x+2y=4}

$$\left. \begin{array} { r } { x + 2 y = 8 } \\ { 2 x + 2 y = 4 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-4$$

$$y=6$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+2y=8,2x+2y=4$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+2y=8$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-2y+8$$

Settu -2y+8 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+2y=4.

$$2\left(-2y+8\right)+2y=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2y+8.

$$-4y+16+2y=4$$

Leggðu -4y saman við 2y.

$$-2y+16=4$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2y=-12$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=6$$

Skiptu 6 út fyrir y í x=-2y+8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2\times 6+8$$

Margfaldaðu -2 sinnum 6.

$$x=-12+8$$

Leggðu 8 saman við -12.

$$x=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=6$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+2y=8,2x+2y=4$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\2&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-2\times 2}&-\frac{2}{2-2\times 2}\\-\frac{2}{2-2\times 2}&\frac{1}{2-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\1&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\4\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8+4\\8-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\6\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-4,y=6$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+2y=8,2x+2y=4$$

Dragðu 2x+2y=4 frá x+2y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-2x+2y-2y=8-4$$

Leggðu 2y saman við -2y. Liðirnir 2y og -2y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-2x=8-4$$

Leggðu x saman við -2x.

$$-x=8-4$$

Leggðu 8 saman við -4.

$$-x=4$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-4$$

Skiptu -4 út fyrir x í 2x+2y=4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\left(-4\right)+2y=4$$

Margfaldaðu 2 sinnum -4.

$$-8+2y=4$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2y=12$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-4,y=6$$