Leysa {r}{5m+6n=-44}{10m+5n=-60}

$$\left. \begin{array} { r } { 5 m + 6 n = - 44 } \\ { 10 m + 5 n = - 60 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir m, n

$$m=-4$$

$$n=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5m+6n=-44,10m+5n=-60$$

Veldu eina jöfnuna og leystu m með því að einangra m vinstra megin við samasemmerkið.

$$5m+6n=-44$$

Dragðu 6n frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5m=-6n-44$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$m=\frac{1}{5}\left(-6n-44\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -6n-44.

$$m=-\frac{6}{5}n-\frac{44}{5}$$

Settu \frac{-6n-44}{5} inn fyrir m í hinni jöfnunni, 10m+5n=-60.

$$10\left(-\frac{6}{5}n-\frac{44}{5}\right)+5n=-60$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{-6n-44}{5}.

$$-12n-88+5n=-60$$

Leggðu -12n saman við 5n.

$$-7n-88=-60$$

Leggðu 88 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-7n=28$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$n=-4$$

Skiptu -4 út fyrir n í m=-\frac{6}{5}n-\frac{44}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$m=-\frac{6}{5}\left(-4\right)-\frac{44}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{6}{5} sinnum -4.

$$m=\frac{24-44}{5}$$

Leggðu -\frac{44}{5} saman við \frac{24}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$m=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=-4,n=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5m+6n=-44,10m+5n=-60$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&6\\10&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5\times 5-6\times 10}&-\frac{6}{5\times 5-6\times 10}\\-\frac{10}{5\times 5-6\times 10}&\frac{5}{5\times 5-6\times 10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&\frac{6}{35}\\\frac{2}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-44\\-60\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\left(-44\right)+\frac{6}{35}\left(-60\right)\\\frac{2}{7}\left(-44\right)-\frac{1}{7}\left(-60\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna m og n.

$$m=-4,n=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5m+6n=-44,10m+5n=-60$$

Til að gera 5m og 10m jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$10\times 5m+10\times 6n=10\left(-44\right),5\times 10m+5\times 5n=5\left(-60\right)$$

Einfaldaðu.

$$50m+60n=-440,50m+25n=-300$$

Dragðu 50m+25n=-300 frá 50m+60n=-440 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50m-50m+60n-25n=-440+300$$

Leggðu 50m saman við -50m. Liðirnir 50m og -50m núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$60n-25n=-440+300$$

Leggðu 60n saman við -25n.

$$35n=-440+300$$

Leggðu -440 saman við 300.

$$35n=-140$$

Deildu báðum hliðum með 35.

$$n=-4$$

Skiptu -4 út fyrir n í 10m+5n=-60. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst m strax.

$$10m+5\left(-4\right)=-60$$

Margfaldaðu 5 sinnum -4.

$$10m-20=-60$$

Leggðu 20 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10m=-40$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$m=-4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$m=-4,n=-4$$