Leysa {r}{32x+3y=5}{3x+2y=70}

$$\left. \begin{array} { r } { 32 x + 3 y = 5 } \\ { 3 x + 2 y = 70 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = -\frac{40}{11} = -3\frac{7}{11} \approx -3.636363636$$

$$y = \frac{445}{11} = 40\frac{5}{11} \approx 40.454545455$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$32x+3y=5$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$32x=-3y+5$$

Deildu báðum hliðum með 32.

$$x=\frac{1}{32}\left(-3y+5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{32} sinnum -3y+5.

$$x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}$$

Settu \frac{-3y+5}{32} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x+2y=70.

$$3\left(-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}\right)+2y=70$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{-3y+5}{32}.

$$-\frac{9}{32}y+\frac{15}{32}+2y=70$$

Leggðu -\frac{9y}{32} saman við 2y.

$$\frac{55}{32}y+\frac{15}{32}=70$$

Dragðu \frac{15}{32} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{55}{32}y=\frac{2225}{32}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{55}{32}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{445}{11}$$

Skiptu \frac{445}{11} út fyrir y í x=-\frac{3}{32}y+\frac{5}{32}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{32}\times \frac{445}{11}+\frac{5}{32}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{32} sinnum \frac{445}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{1335}{352}+\frac{5}{32}$$

Leggðu \frac{5}{32} saman við -\frac{1335}{352} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}32&3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{32\times 2-3\times 3}&-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}\\-\frac{3}{32\times 2-3\times 3}&\frac{32}{32\times 2-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}&-\frac{3}{55}\\-\frac{3}{55}&\frac{32}{55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\70\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{55}\times 5-\frac{3}{55}\times 70\\-\frac{3}{55}\times 5+\frac{32}{55}\times 70\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{40}{11}\\\frac{445}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$32x+3y=5,3x+2y=70$$

Til að gera 32x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 32.

$$3\times 32x+3\times 3y=3\times 5,32\times 3x+32\times 2y=32\times 70$$

Einfaldaðu.

$$96x+9y=15,96x+64y=2240$$

Dragðu 96x+64y=2240 frá 96x+9y=15 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$96x-96x+9y-64y=15-2240$$

Leggðu 96x saman við -96x. Liðirnir 96x og -96x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-64y=15-2240$$

Leggðu 9y saman við -64y.

$$-55y=15-2240$$

Leggðu 15 saman við -2240.

$$-55y=-2225$$

Deildu báðum hliðum með -55.

$$y=\frac{445}{11}$$

Skiptu \frac{445}{11} út fyrir y í 3x+2y=70. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x+2\times \frac{445}{11}=70$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{445}{11}.

$$3x+\frac{890}{11}=70$$

Dragðu \frac{890}{11} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3x=-\frac{120}{11}$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=-\frac{40}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{40}{11},y=\frac{445}{11}$$