Leysa {r}{2x+5y=33}{x+3y=19}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 5 y = 33 } \\ { x + 3 y = 19 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+5y=33$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-5y+33$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-5y+33\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -5y+33.

$$x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}$$

Settu \frac{-5y+33}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+3y=19.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}+3y=19$$

Leggðu -\frac{5y}{2} saman við 3y.

$$\frac{1}{2}y+\frac{33}{2}=19$$

Dragðu \frac{33}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{1}{2}y=\frac{5}{2}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með 2.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=-\frac{5}{2}y+\frac{33}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{2}\times 5+\frac{33}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{2} sinnum 5.

$$x=\frac{-25+33}{2}$$

Leggðu \frac{33}{2} saman við -\frac{25}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2\times 3-5}&-\frac{5}{2\times 3-5}\\-\frac{1}{2\times 3-5}&\frac{2}{2\times 3-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-5\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}33\\19\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times 33-5\times 19\\-33+2\times 19\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+5y=33,x+3y=19$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+5y=33,2x+2\times 3y=2\times 19$$

Einfaldaðu.

$$2x+5y=33,2x+6y=38$$

Dragðu 2x+6y=38 frá 2x+5y=33 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+5y-6y=33-38$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-6y=33-38$$

Leggðu 5y saman við -6y.

$$-y=33-38$$

Leggðu 33 saman við -38.

$$-y=-5$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x+3y=19. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+3\times 5=19$$

Margfaldaðu 3 sinnum 5.

$$x+15=19$$

Dragðu 15 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=5$$