Leysa {r}{2x+3y=21}{x-y=3}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 x + 3 y = 21 } \\ { x - y = 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+3y=21,x-y=3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+3y=21$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-3y+21$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(-3y+21\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{2} sinnum -3y+21.

$$x=-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}$$

Settu \frac{-3y+21}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-y=3.

$$-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}-y=3$$

Leggðu -\frac{3y}{2} saman við -y.

$$-\frac{5}{2}y+\frac{21}{2}=3$$

Dragðu \frac{21}{2} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{5}{2}y=-\frac{15}{2}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=-\frac{3}{2}y+\frac{21}{2}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{3}{2}\times 3+\frac{21}{2}$$

Margfaldaðu -\frac{3}{2} sinnum 3.

$$x=\frac{-9+21}{2}$$

Leggðu \frac{21}{2} saman við -\frac{9}{2} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$2x+3y=21,x-y=3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&3\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&-\frac{3}{2\left(-1\right)-3}\\-\frac{1}{2\left(-1\right)-3}&\frac{2}{2\left(-1\right)-3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&\frac{3}{5}\\\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 21+\frac{3}{5}\times 3\\\frac{1}{5}\times 21-\frac{2}{5}\times 3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$2x+3y=21,x-y=3$$

Til að gera 2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 2.

$$2x+3y=21,2x+2\left(-1\right)y=2\times 3$$

Einfaldaðu.

$$2x+3y=21,2x-2y=6$$

Dragðu 2x-2y=6 frá 2x+3y=21 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+3y+2y=21-6$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$3y+2y=21-6$$

Leggðu 3y saman við 2y.

$$5y=21-6$$

Leggðu 21 saman við -6.

$$5y=15$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x-y=3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-3=3$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=3$$