Leysa {r}{-2x+9y=8}{x-2y=6}

$$\left. \begin{array} { r } { - 2 x + 9 y = 8 } \\ { x - 2 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=14$$

$$y=4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$-2x+9y=8$$

Dragðu 9y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-2x=-9y+8$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=-\frac{1}{2}\left(-9y+8\right)$$

Margfaldaðu -\frac{1}{2} sinnum -9y+8.

$$x=\frac{9}{2}y-4$$

Settu \frac{9y}{2}-4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=6.

$$\frac{9}{2}y-4-2y=6$$

Leggðu \frac{9y}{2} saman við -2y.

$$\frac{5}{2}y-4=6$$

Leggðu 4 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{5}{2}y=10$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{5}{2}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x=\frac{9}{2}y-4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{9}{2}\times 4-4$$

Margfaldaðu \frac{9}{2} sinnum 4.

$$x=18-4$$

Leggðu -4 saman við 18.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-2&9\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{9}{-2\left(-2\right)-9}\\-\frac{1}{-2\left(-2\right)-9}&-\frac{2}{-2\left(-2\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&\frac{9}{5}\\\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 8+\frac{9}{5}\times 6\\\frac{1}{5}\times 8+\frac{2}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=14,y=4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$-2x+9y=8,x-2y=6$$

Til að gera -2x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með -2.

$$-2x+9y=8,-2x-2\left(-2\right)y=-2\times 6$$

Einfaldaðu.

$$-2x+9y=8,-2x+4y=-12$$

Dragðu -2x+4y=-12 frá -2x+9y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x+9y-4y=8+12$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$9y-4y=8+12$$

Leggðu 9y saman við -4y.

$$5y=8+12$$

Leggðu 8 saman við 12.

$$5y=20$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=4$$

Skiptu 4 út fyrir y í x-2y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\times 4=6$$

Margfaldaðu -2 sinnum 4.

$$x-8=6$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=14$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=14,y=4$$