Leysa {l}{y=2x-3}{x-y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x - 3 } \\ { x - y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=-2$$

$$y=-7$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=-3$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$y-2x=-3,-y+x=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$y-2x=-3$$

Leggðu 2x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$y=2x-3$$

Settu 2x-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, -y+x=5.

$$-\left(2x-3\right)+x=5$$

Margfaldaðu -1 sinnum 2x-3.

$$-2x+3+x=5$$

Leggðu -2x saman við x.

$$-x+3=5$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-x=2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í y=2x-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=2\left(-2\right)-3$$

Margfaldaðu 2 sinnum -2.

$$y=-4-3$$

Leggðu -3 saman við -4.

$$y=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-7,x=-2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=-3$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$y-2x=-3,-y+x=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&-2\\-1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-3\right)-2\times 5\\-\left(-3\right)-5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-7,x=-2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 2x frá báðum hliðum.

$$y-2x=-3$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$y-2x=-3,-y+x=5$$

Til að gera y og -y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-y-\left(-2x\right)=-\left(-3\right),-y+x=5$$

Einfaldaðu.

$$-y+2x=3,-y+x=5$$

Dragðu -y+x=5 frá -y+2x=3 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-y+y+2x-x=3-5$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2x-x=3-5$$

Leggðu 2x saman við -x.

$$x=3-5$$

Leggðu 3 saman við -5.

$$x=-2$$

Skiptu -2 út fyrir x í -y+x=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$-y-2=5$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-y=7$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=-7$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-7,x=-2$$