Leysa {l}{y=x/3-3}{4x+y=-3}

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 3 } - 3 } \\ { 4 x + y = - 3 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x=0$$

$$y=-3$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{x}{3} frá báðum hliðum.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3y-x=-9$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$3y-x=-9$$

Leggðu x saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3y=x-9$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=\frac{1}{3}\left(x-9\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{3} sinnum x-9.

$$y=\frac{1}{3}x-3$$

Settu \frac{x}{3}-3 inn fyrir y í hinni jöfnunni, y+4x=-3.

$$\frac{1}{3}x-3+4x=-3$$

Leggðu \frac{x}{3} saman við 4x.

$$\frac{13}{3}x-3=-3$$

Leggðu 3 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{13}{3}x=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{13}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í y=\frac{1}{3}x-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=0$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{x}{3} frá báðum hliðum.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3y-x=-9$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3\times 4-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3\times 4-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3\times 4-\left(-1\right)}&\frac{3}{3\times 4-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\-3\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{13}\left(-9\right)+\frac{1}{13}\left(-3\right)\\-\frac{1}{13}\left(-9\right)+\frac{3}{13}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=-3,x=0$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu \frac{x}{3} frá báðum hliðum.

$$y-\frac{x}{3}=-3$$

Margfaldaðu báðar hliðar jöfnunnar með 3.

$$3y-x=-9$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$3y-x=-9,y+4x=-3$$

Til að gera 3y og y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 3.

$$3y-x=-9,3y+3\times 4x=3\left(-3\right)$$

Einfaldaðu.

$$3y-x=-9,3y+12x=-9$$

Dragðu 3y+12x=-9 frá 3y-x=-9 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$3y-3y-x-12x=-9+9$$

Leggðu 3y saman við -3y. Liðirnir 3y og -3y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-x-12x=-9+9$$

Leggðu -x saman við -12x.

$$-13x=-9+9$$

Leggðu -9 saman við 9.

$$-13x=0$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$x=0$$

Skiptu 0 út fyrir x í y+4x=-3. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=-3,x=0$$