Leysa {l}{x^2+y^2=1}{2x+2y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1 } \\ { 2 x + 2 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0.911437828\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411437828$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{4}\approx -0.411437828\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\approx 0.911437828$$

Skref með innsetningu og annars stigs formúlu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$2x+2y=1,y^{2}+x^{2}=1$$

Leystu 2x+2y=1 fyrir x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$2x+2y=1$$

Dragðu 2y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=-2y+1$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=-y+\frac{1}{2}$$

Settu -y+\frac{1}{2} inn fyrir x í hinni jöfnunni, y^{2}+x^{2}=1.

$$y^{2}+\left(-y+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Hefðu -y+\frac{1}{2} í annað veldi.

$$y^{2}+y^{2}-y+\frac{1}{4}=1$$

Leggðu y^{2} saman við y^{2}.

$$2y^{2}-y+\frac{1}{4}=1$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y^{2}-y-\frac{3}{4}=0$$

Jafnan er í staðalformi: ax^{2}+bx+c=0. Settu 1+1\left(-1\right)^{2} inn fyrir a, 1\times \frac{1}{2}\left(-1\right)\times 2 inn fyrir b og -\frac{3}{4} inn fyrir c í annars stigs formúlunni \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 2\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -4 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-8\left(-\frac{3}{4}\right)}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu -8 sinnum -\frac{3}{4}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+6}}{2\times 2}$$

Leggðu 1 saman við 6.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Gagnstæð tala tölunnar 1\times \frac{1}{2}\left(-1\right)\times 2 er 1.

$$y=\frac{1±\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Margfaldaðu 2 sinnum 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{1±\sqrt{7}}{4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{1±\sqrt{7}}{4} þegar ± er plús. Leggðu 1 saman við \sqrt{7}.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}$$

Leystu nú jöfnuna y=\frac{1±\sqrt{7}}{4} þegar ± er mínus. Dragðu \sqrt{7} frá 1.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}$$

Hægt er að leysa y á tvenna vegu: \frac{1+\sqrt{7}}{4} og \frac{1-\sqrt{7}}{4}. Skiptu \frac{1+\sqrt{7}}{4} út fyrir y í jöfnunni x=-y+\frac{1}{2} til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}+\frac{1}{2}$$

Settu núna \frac{1-\sqrt{7}}{4} inn fyrir y í jöfnunni x=-y+\frac{1}{2} og leystu hana til að finna samsvarandi lausn fyrir x sem uppfyllir báðar jöfnur.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{4}+\frac{1}{2},y=\frac{\sqrt{7}+1}{4}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{4}+\frac{1}{2},y=\frac{1-\sqrt{7}}{4}$$