Leysa {l}{x=y+4}{4x-y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { x = y + 4 } \\ { 4 x - y = 22 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=4$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x-y=4,4x-y=22$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x-y=4$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=y+4$$

Settu y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x-y=22.

$$4\left(y+4\right)-y=22$$

Margfaldaðu 4 sinnum y+4.

$$4y+16-y=22$$

Leggðu 4y saman við -y.

$$3y+16=22$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$3y=6$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=2+4$$

Leggðu 4 saman við 2.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=2$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=4$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x-y=4,4x-y=22$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{-1-\left(-4\right)}&\frac{1}{-1-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\-\frac{4}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 22\\-\frac{4}{3}\times 4+\frac{1}{3}\times 22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=2$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu y frá báðum hliðum.

$$x-y=4$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x-y=4,4x-y=22$$

Dragðu 4x-y=22 frá x-y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-4x-y+y=4-22$$

Leggðu -y saman við y. Liðirnir -y og y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$x-4x=4-22$$

Leggðu x saman við -4x.

$$-3x=4-22$$

Leggðu 4 saman við -22.

$$-3x=-18$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 4x-y=22. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$4\times 6-y=22$$

Margfaldaðu 4 sinnum 6.

$$24-y=22$$

Dragðu 24 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-y=-2$$

Deildu báðum hliðum með -1.

$$y=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=2$$