Leysa {l}{x+y=80}{0.15x+0.7y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 80 } \\ { 0.15 x + 0.7 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{960}{11} = 87\frac{3}{11} \approx 87.272727273$$

$$y = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=80,0.15x+0.7y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=80$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+80$$

Settu -y+80 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.15x+0.7y=8.

$$0.15\left(-y+80\right)+0.7y=8$$

Margfaldaðu 0.15 sinnum -y+80.

$$-0.15y+12+0.7y=8$$

Leggðu -\frac{3y}{20} saman við \frac{7y}{10}.

$$0.55y+12=8$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.55y=-4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.55. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Skiptu -\frac{80}{11} út fyrir y í x=-y+80. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{80}{11}\right)+80$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{80}{11}.

$$x=\frac{80}{11}+80$$

Leggðu 80 saman við \frac{80}{11}.

$$x=\frac{960}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{960}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=80,0.15x+0.7y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.15&0.7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.7}{0.7-0.15}&-\frac{1}{0.7-0.15}\\-\frac{0.15}{0.7-0.15}&\frac{1}{0.7-0.15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}&-\frac{20}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{20}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}80\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{14}{11}\times 80-\frac{20}{11}\times 8\\-\frac{3}{11}\times 80+\frac{20}{11}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{960}{11}\\-\frac{80}{11}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{960}{11},y=-\frac{80}{11}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=80,0.15x+0.7y=8$$

Til að gera x og \frac{3x}{20} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.15 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.15x+0.15y=0.15\times 80,0.15x+0.7y=8$$

Einfaldaðu.

$$0.15x+0.15y=12,0.15x+0.7y=8$$

Dragðu 0.15x+0.7y=8 frá 0.15x+0.15y=12 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.15x-0.15x+0.15y-0.7y=12-8$$

Leggðu \frac{3x}{20} saman við -\frac{3x}{20}. Liðirnir \frac{3x}{20} og -\frac{3x}{20} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.15y-0.7y=12-8$$

Leggðu \frac{3y}{20} saman við -\frac{7y}{10}.

$$-0.55y=12-8$$

Leggðu 12 saman við -8.

$$-0.55y=4$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.55. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{80}{11}$$

Skiptu -\frac{80}{11} út fyrir y í 0.15x+0.7y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.15x+0.7\left(-\frac{80}{11}\right)=8$$

Margfaldaðu 0.7 sinnum -\frac{80}{11} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$0.15x-\frac{56}{11}=8$$

Leggðu \frac{56}{11} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$0.15x=\frac{144}{11}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.15. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=\frac{960}{11}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{960}{11},y=-\frac{80}{11}$$