Leysa {l}{x+y=7}{5x+12y=7}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 7 } \\ { 5 x + 12 y = 7 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=11$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=7$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+7$$

Settu -y+7 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 5x+12y=7.

$$5\left(-y+7\right)+12y=7$$

Margfaldaðu 5 sinnum -y+7.

$$-5y+35+12y=7$$

Leggðu -5y saman við 12y.

$$7y+35=7$$

Dragðu 35 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7y=-28$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=-y+7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-4\right)+7$$

Margfaldaðu -1 sinnum -4.

$$x=4+7$$

Leggðu 7 saman við 4.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&12\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{12-5}&-\frac{1}{12-5}\\-\frac{5}{12-5}&\frac{1}{12-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}&-\frac{1}{7}\\-\frac{5}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\7\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{7}\times 7-\frac{1}{7}\times 7\\-\frac{5}{7}\times 7+\frac{1}{7}\times 7\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=11,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=7,5x+12y=7$$

Til að gera x og 5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$5x+5y=5\times 7,5x+12y=7$$

Einfaldaðu.

$$5x+5y=35,5x+12y=7$$

Dragðu 5x+12y=7 frá 5x+5y=35 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x+5y-12y=35-7$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5y-12y=35-7$$

Leggðu 5y saman við -12y.

$$-7y=35-7$$

Leggðu 35 saman við -7.

$$-7y=28$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í 5x+12y=7. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$5x+12\left(-4\right)=7$$

Margfaldaðu 12 sinnum -4.

$$5x-48=7$$

Leggðu 48 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=55$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=11,y=-4$$