Leysa {l}{x+y=240}{0.12x+0.06y=240*0.08}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 240 } \\ { 0.12 x + 0.06 y = 240 \times 0.08 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=80$$

$$y=160$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=240$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+240$$

Settu -y+240 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 0.12x+0.06y=19.2.

$$0.12\left(-y+240\right)+0.06y=19.2$$

Margfaldaðu 0.12 sinnum -y+240.

$$-0.12y+28.8+0.06y=19.2$$

Leggðu -\frac{3y}{25} saman við \frac{3y}{50}.

$$-0.06y+28.8=19.2$$

Dragðu 28.8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.06y=-9.6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.06. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=160$$

Skiptu 160 út fyrir y í x=-y+240. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-160+240$$

Leggðu 240 saman við -160.

$$x=80$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=80,y=160$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.12&0.06\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.06}{0.06-0.12}&-\frac{1}{0.06-0.12}\\-\frac{0.12}{0.06-0.12}&\frac{1}{0.06-0.12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&\frac{50}{3}\\2&-\frac{50}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}240\\19.2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-240+\frac{50}{3}\times 19.2\\2\times 240-\frac{50}{3}\times 19.2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}80\\160\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=80,y=160$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=240,0.12x+0.06y=19.2$$

Til að gera x og \frac{3x}{25} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 0.12 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$0.12x+0.12y=0.12\times 240,0.12x+0.06y=19.2$$

Einfaldaðu.

$$0.12x+0.12y=28.8,0.12x+0.06y=19.2$$

Dragðu 0.12x+0.06y=19.2 frá 0.12x+0.12y=28.8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$0.12x-0.12x+0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Leggðu \frac{3x}{25} saman við -\frac{3x}{25}. Liðirnir \frac{3x}{25} og -\frac{3x}{25} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$0.12y-0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Leggðu \frac{3y}{25} saman við -\frac{3y}{50}.

$$0.06y=\frac{144-96}{5}$$

Leggðu 28.8 saman við -19.2 með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$0.06y=9.6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.06. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=160$$

Skiptu 160 út fyrir y í 0.12x+0.06y=19.2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$0.12x+0.06\times 160=19.2$$

Margfaldaðu 0.06 sinnum 160.

$$0.12x+9.6=19.2$$

Dragðu 9.6 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.12x=9.6$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.12. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=80$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=80,y=160$$