Leysa {l}{x+y=2}{2x+4y=8}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 2 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=2,2x+4y=8$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=2$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+2$$

Settu -y+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+4y=8.

$$2\left(-y+2\right)+4y=8$$

Margfaldaðu 2 sinnum -y+2.

$$-2y+4+4y=8$$

Leggðu -2y saman við 4y.

$$2y+4=8$$

Dragðu 4 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2y=4$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í x=-y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-2+2$$

Leggðu 2 saman við -2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=2,2x+4y=8$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{4-2}&-\frac{1}{4-2}\\-\frac{2}{4-2}&\frac{1}{4-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{1}{2}\\-1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2-\frac{1}{2}\times 8\\-2+\frac{1}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=2,2x+4y=8$$

Til að gera x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2x+2y=2\times 2,2x+4y=8$$

Einfaldaðu.

$$2x+2y=4,2x+4y=8$$

Dragðu 2x+4y=8 frá 2x+2y=4 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2x-2x+2y-4y=4-8$$

Leggðu 2x saman við -2x. Liðirnir 2x og -2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2y-4y=4-8$$

Leggðu 2y saman við -4y.

$$-2y=4-8$$

Leggðu 4 saman við -8.

$$-2y=-4$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$y=2$$

Skiptu 2 út fyrir y í 2x+4y=8. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x+4\times 2=8$$

Margfaldaðu 4 sinnum 2.

$$2x+8=8$$

Dragðu 8 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2x=0$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=2$$