Leysa {l}{x+y=17}{2.6x+3.5y=55}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 17 } \\ { 2.6 x + 3.5 y = 55 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=5$$

$$y=12$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=17$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+17$$

Settu -y+17 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2.6x+3.5y=55.

$$2.6\left(-y+17\right)+3.5y=55$$

Margfaldaðu 2.6 sinnum -y+17.

$$-2.6y+44.2+3.5y=55$$

Leggðu -\frac{13y}{5} saman við \frac{7y}{2}.

$$0.9y+44.2=55$$

Dragðu 44.2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$0.9y=10.8$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.9. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=12$$

Skiptu 12 út fyrir y í x=-y+17. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-12+17$$

Leggðu 17 saman við -12.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=12$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2.6&3.5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3.5}{3.5-2.6}&-\frac{1}{3.5-2.6}\\-\frac{2.6}{3.5-2.6}&\frac{1}{3.5-2.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}&-\frac{10}{9}\\-\frac{26}{9}&\frac{10}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}17\\55\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{35}{9}\times 17-\frac{10}{9}\times 55\\-\frac{26}{9}\times 17+\frac{10}{9}\times 55\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\12\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=5,y=12$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=17,2.6x+3.5y=55$$

Til að gera x og \frac{13x}{5} jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2.6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$2.6x+2.6y=2.6\times 17,2.6x+3.5y=55$$

Einfaldaðu.

$$2.6x+2.6y=44.2,2.6x+3.5y=55$$

Dragðu 2.6x+3.5y=55 frá 2.6x+2.6y=44.2 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$2.6x-2.6x+2.6y-3.5y=44.2-55$$

Leggðu \frac{13x}{5} saman við -\frac{13x}{5}. Liðirnir \frac{13x}{5} og -\frac{13x}{5} núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$2.6y-3.5y=44.2-55$$

Leggðu \frac{13y}{5} saman við -\frac{7y}{2}.

$$-0.9y=44.2-55$$

Leggðu 44.2 saman við -55.

$$-0.9y=-10.8$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.9. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=12$$

Skiptu 12 út fyrir y í 2.6x+3.5y=55. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2.6x+3.5\times 12=55$$

Margfaldaðu 3.5 sinnum 12.

$$2.6x+42=55$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$2.6x=13$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 2.6. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=5,y=12$$