Leysa {l}{x+y=150}{x+.13y=63*100}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 150 } \\ { x + .13 y = 63 \times 100 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{209350}{29} = 7218\frac{28}{29} \approx 7218.965517241$$

$$y = -\frac{205000}{29} = -7068\frac{28}{29} \approx -7068.965517241$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=150,x+0.13y=6300$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=150$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+150$$

Settu -y+150 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+0.13y=6300.

$$-y+150+0.13y=6300$$

Leggðu -y saman við \frac{13y}{100}.

$$-0.87y+150=6300$$

Dragðu 150 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-0.87y=6150$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -0.87. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{205000}{29}$$

Skiptu -\frac{205000}{29} út fyrir y í x=-y+150. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{205000}{29}\right)+150$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{205000}{29}.

$$x=\frac{205000}{29}+150$$

Leggðu 150 saman við \frac{205000}{29}.

$$x=\frac{209350}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{209350}{29},y=-\frac{205000}{29}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=150,x+0.13y=6300$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.13}{0.13-1}&-\frac{1}{0.13-1}\\-\frac{1}{0.13-1}&\frac{1}{0.13-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{87}&\frac{100}{87}\\\frac{100}{87}&-\frac{100}{87}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}150\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{87}\times 150+\frac{100}{87}\times 6300\\\frac{100}{87}\times 150-\frac{100}{87}\times 6300\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{209350}{29}\\-\frac{205000}{29}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{209350}{29},y=-\frac{205000}{29}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=150,x+0.13y=6300$$

Dragðu x+0.13y=6300 frá x+y=150 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y-0.13y=150-6300$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y-0.13y=150-6300$$

Leggðu y saman við -\frac{13y}{100}.

$$0.87y=150-6300$$

Leggðu 150 saman við -6300.

$$0.87y=-6150$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með 0.87. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-\frac{205000}{29}$$

Skiptu -\frac{205000}{29} út fyrir y í x+0.13y=6300. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+0.13\left(-\frac{205000}{29}\right)=6300$$

Margfaldaðu 0.13 sinnum -\frac{205000}{29} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x-\frac{26650}{29}=6300$$

Leggðu \frac{26650}{29} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$x=\frac{209350}{29}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{209350}{29},y=-\frac{205000}{29}$$