Leysa {l}{x+y=100}{60x+70y=6300}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 100 } \\ { 60 x + 70 y = 6300 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=70$$

$$y=30$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=100$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+100$$

Settu -y+100 inn fyrir x í hinni jöfnunni, 60x+70y=6300.

$$60\left(-y+100\right)+70y=6300$$

Margfaldaðu 60 sinnum -y+100.

$$-60y+6000+70y=6300$$

Leggðu -60y saman við 70y.

$$10y+6000=6300$$

Dragðu 6000 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$10y=300$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í x=-y+100. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-30+100$$

Leggðu 100 saman við -30.

$$x=70$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=70,y=30$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\60&70\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{70}{70-60}&-\frac{1}{70-60}\\-\frac{60}{70-60}&\frac{1}{70-60}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&-\frac{1}{10}\\-6&\frac{1}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}100\\6300\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 100-\frac{1}{10}\times 6300\\-6\times 100+\frac{1}{10}\times 6300\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}70\\30\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=70,y=30$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=100,60x+70y=6300$$

Til að gera x og 60x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 60 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$60x+60y=60\times 100,60x+70y=6300$$

Einfaldaðu.

$$60x+60y=6000,60x+70y=6300$$

Dragðu 60x+70y=6300 frá 60x+60y=6000 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$60x-60x+60y-70y=6000-6300$$

Leggðu 60x saman við -60x. Liðirnir 60x og -60x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$60y-70y=6000-6300$$

Leggðu 60y saman við -70y.

$$-10y=6000-6300$$

Leggðu 6000 saman við -6300.

$$-10y=-300$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$y=30$$

Skiptu 30 út fyrir y í 60x+70y=6300. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$60x+70\times 30=6300$$

Margfaldaðu 70 sinnum 30.

$$60x+2100=6300$$

Dragðu 2100 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$60x=4200$$

Deildu báðum hliðum með 60.

$$x=70$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=70,y=30$$