Leysa {l}{x+y=1}{x-2y=14}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 1 } \\ { x - 2 y = 14 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

$$y = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+y=1,x-2y=14$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+y=1$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-y+1$$

Settu -y+1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x-2y=14.

$$-y+1-2y=14$$

Leggðu -y saman við -2y.

$$-3y+1=14$$

Dragðu 1 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-3y=13$$

Deildu báðum hliðum með -3.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Skiptu -\frac{13}{3} út fyrir y í x=-y+1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\left(-\frac{13}{3}\right)+1$$

Margfaldaðu -1 sinnum -\frac{13}{3}.

$$x=\frac{13}{3}+1$$

Leggðu 1 saman við \frac{13}{3}.

$$x=\frac{16}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+y=1,x-2y=14$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\14\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}+\frac{1}{3}\times 14\\\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\times 14\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{16}{3}\\-\frac{13}{3}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+y=1,x-2y=14$$

Dragðu x-2y=14 frá x+y=1 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$x-x+y+2y=1-14$$

Leggðu x saman við -x. Liðirnir x og -x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$y+2y=1-14$$

Leggðu y saman við 2y.

$$3y=1-14$$

Leggðu 1 saman við -14.

$$3y=-13$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$y=-\frac{13}{3}$$

Skiptu -\frac{13}{3} út fyrir y í x-2y=14. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x-2\left(-\frac{13}{3}\right)=14$$

Margfaldaðu -2 sinnum -\frac{13}{3}.

$$x+\frac{26}{3}=14$$

Dragðu \frac{26}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=\frac{16}{3}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{16}{3},y=-\frac{13}{3}$$