Leysa {l}{x+3y=4}{-2x+y=-22}

$$\left. \begin{array} { l } { x + 3 y = 4 } \\ { - 2 x + y = - 22 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=10$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$x+3y=4$$

Dragðu 3y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=-3y+4$$

Settu -3y+4 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -2x+y=-22.

$$-2\left(-3y+4\right)+y=-22$$

Margfaldaðu -2 sinnum -3y+4.

$$6y-8+y=-22$$

Leggðu 6y saman við y.

$$7y-8=-22$$

Leggðu 8 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7y=-14$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-3y+4. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-3\left(-2\right)+4$$

Margfaldaðu -3 sinnum -2.

$$x=6+4$$

Leggðu 4 saman við 6.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-3\left(-2\right)}&-\frac{3}{1-3\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-3\left(-2\right)}&\frac{1}{1-3\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 4-\frac{3}{7}\left(-22\right)\\\frac{2}{7}\times 4+\frac{1}{7}\left(-22\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=10,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$x+3y=4,-2x+y=-22$$

Til að gera x og -2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$-2x-2\times 3y=-2\times 4,-2x+y=-22$$

Einfaldaðu.

$$-2x-6y=-8,-2x+y=-22$$

Dragðu -2x+y=-22 frá -2x-6y=-8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-2x+2x-6y-y=-8+22$$

Leggðu -2x saman við 2x. Liðirnir -2x og 2x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-y=-8+22$$

Leggðu -6y saman við -y.

$$-7y=-8+22$$

Leggðu -8 saman við 22.

$$-7y=14$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -2x+y=-22. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-2x-2=-22$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-2x=-20$$

Deildu báðum hliðum með -2.

$$x=10$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=10,y=-2$$