Leysa {l}{a=15-2b}{2a-5b=15-2a}

$$\left. \begin{array} { l } { a = 15 - 2 b } \\ { 2 a - 5 b = 15 - 2 a } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir a, b

$$a = \frac{105}{13} = 8\frac{1}{13} \approx 8.076923077$$

$$b = \frac{45}{13} = 3\frac{6}{13} \approx 3.461538462$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2b við báðar hliðar.

$$a+2b=15$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2a við báðar hliðar.

$$2a-5b+2a=15$$

Sameinaðu 2a og 2a til að fá 4a.

$$4a-5b=15$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Veldu eina jöfnuna og leystu a með því að einangra a vinstra megin við samasemmerkið.

$$a+2b=15$$

Dragðu 2b frá báðum hliðum jöfnunar.

$$a=-2b+15$$

Settu -2b+15 inn fyrir a í hinni jöfnunni, 4a-5b=15.

$$4\left(-2b+15\right)-5b=15$$

Margfaldaðu 4 sinnum -2b+15.

$$-8b+60-5b=15$$

Leggðu -8b saman við -5b.

$$-13b+60=15$$

Dragðu 60 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-13b=-45$$

Deildu báðum hliðum með -13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Skiptu \frac{45}{13} út fyrir b í a=-2b+15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$a=-2\times \frac{45}{13}+15$$

Margfaldaðu -2 sinnum \frac{45}{13}.

$$a=-\frac{90}{13}+15$$

Leggðu 15 saman við -\frac{90}{13}.

$$a=\frac{105}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2b við báðar hliðar.

$$a+2b=15$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2a við báðar hliðar.

$$2a-5b+2a=15$$

Sameinaðu 2a og 2a til að fá 4a.

$$4a-5b=15$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\4&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{-5-2\times 4}&-\frac{2}{-5-2\times 4}\\-\frac{4}{-5-2\times 4}&\frac{1}{-5-2\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\\\frac{4}{13}&-\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\15\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}\times 15+\frac{2}{13}\times 15\\\frac{4}{13}\times 15-\frac{1}{13}\times 15\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{105}{13}\\\frac{45}{13}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna a og b.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 2b við báðar hliðar.

$$a+2b=15$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Bættu 2a við báðar hliðar.

$$2a-5b+2a=15$$

Sameinaðu 2a og 2a til að fá 4a.

$$4a-5b=15$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$a+2b=15,4a-5b=15$$

Til að gera a og 4a jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 1.

$$4a+4\times 2b=4\times 15,4a-5b=15$$

Einfaldaðu.

$$4a+8b=60,4a-5b=15$$

Dragðu 4a-5b=15 frá 4a+8b=60 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$4a-4a+8b+5b=60-15$$

Leggðu 4a saman við -4a. Liðirnir 4a og -4a núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$8b+5b=60-15$$

Leggðu 8b saman við 5b.

$$13b=60-15$$

Leggðu 60 saman við -15.

$$13b=45$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$b=\frac{45}{13}$$

Skiptu \frac{45}{13} út fyrir b í 4a-5b=15. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst a strax.

$$4a-5\times \frac{45}{13}=15$$

Margfaldaðu -5 sinnum \frac{45}{13}.

$$4a-\frac{225}{13}=15$$

Leggðu \frac{225}{13} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$4a=\frac{420}{13}$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$a=\frac{105}{13}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$a=\frac{105}{13},b=\frac{45}{13}$$