Leysa {l}{9x+my+3=0}{mx+4y+2=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + m y + 3 = 0 } \\ { m x + 4 y + 2 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&m\neq -6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+my+3=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x+my=-3$$

Dragðu my frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Settu -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Margfaldaðu m sinnum -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Leggðu -\frac{m^{2}y}{9} saman við 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Dragðu -\frac{m}{3}+2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Skiptu -\frac{3}{6+m} út fyrir y í x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{m}{9} sinnum -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Til að gera 9x og mx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með m og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Einfaldaðu.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Dragðu 9mx+36y+18=0 frá 9mx+m^{2}y+3m=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Leggðu 9mx saman við -9mx. Liðirnir 9mx og -9mx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Leggðu m^{2}y saman við -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Dragðu -18+3m frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Deildu báðum hliðum með m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Skiptu -\frac{3}{6+m} út fyrir y í mx+4y+2=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Leggðu -\frac{12}{6+m} saman við 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Dragðu \frac{2m}{6+m} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Deildu báðum hliðum með m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Leystu fyrir x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{2}{m+6}\text{, }y=-\frac{3}{m+6}\text{, }&|m|\neq 6\\x=\frac{-2y-1}{3}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=6\end{matrix}\right.$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+my+3=0$$

Dragðu 3 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x+my=-3$$

Dragðu my frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=\left(-m\right)y-3$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(\left(-m\right)y-3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -my-3.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}$$

Settu -\frac{my}{9}-\frac{1}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, mx+4y+2=0.

$$m\left(\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}\right)+4y+2=0$$

Margfaldaðu m sinnum -\frac{my}{9}-\frac{1}{3}.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}\right)y-\frac{m}{3}+4y+2=0$$

Leggðu -\frac{m^{2}y}{9} saman við 4y.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y-\frac{m}{3}+2=0$$

Dragðu -\frac{m}{3}+2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(-\frac{m^{2}}{9}+4\right)y=\frac{m}{3}-2$$

Deildu báðum hliðum með -\frac{m^{2}}{9}+4.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Skiptu -\frac{3}{6+m} út fyrir y í x=\left(-\frac{m}{9}\right)y-\frac{1}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\left(-\frac{m}{9}\right)\left(-\frac{3}{m+6}\right)-\frac{1}{3}$$

Margfaldaðu -\frac{m}{9} sinnum -\frac{3}{6+m}.

$$x=\frac{m}{3\left(m+6\right)}-\frac{1}{3}$$

Leggðu -\frac{1}{3} saman við \frac{m}{3\left(6+m\right)}.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&m\\m&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{9\times 4-mm}&-\frac{m}{9\times 4-mm}\\-\frac{m}{9\times 4-mm}&\frac{9}{9\times 4-mm}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}&-\frac{m}{36-m^{2}}\\-\frac{m}{36-m^{2}}&\frac{9}{36-m^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{36-m^{2}}\left(-3\right)+\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-2\right)\\\left(-\frac{m}{36-m^{2}}\right)\left(-3\right)+\frac{9}{36-m^{2}}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{m+6}\\-\frac{3}{m+6}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+my+3=0,mx+4y+2=0$$

Til að gera 9x og mx jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með m og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$m\times 9x+mmy+m\times 3=0,9mx+9\times 4y+9\times 2=0$$

Einfaldaðu.

$$9mx+m^{2}y+3m=0,9mx+36y+18=0$$

Dragðu 9mx+36y+18=0 frá 9mx+m^{2}y+3m=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$9mx+\left(-9m\right)x+m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Leggðu 9mx saman við -9mx. Liðirnir 9mx og -9mx núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$m^{2}y-36y+3m-18=0$$

Leggðu m^{2}y saman við -36y.

$$\left(m^{2}-36\right)y+3m-18=0$$

Dragðu -18+3m frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\left(m^{2}-36\right)y=18-3m$$

Deildu báðum hliðum með m^{2}-36.

$$y=-\frac{3}{m+6}$$

Skiptu -\frac{3}{6+m} út fyrir y í mx+4y+2=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$mx+4\left(-\frac{3}{m+6}\right)+2=0$$

Margfaldaðu 4 sinnum -\frac{3}{6+m}.

$$mx-\frac{12}{m+6}+2=0$$

Leggðu -\frac{12}{6+m} saman við 2.

$$mx+\frac{2m}{m+6}=0$$

Dragðu \frac{2m}{6+m} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$mx=-\frac{2m}{m+6}$$

Deildu báðum hliðum með m.

$$x=-\frac{2}{m+6}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-\frac{2}{m+6},y=-\frac{3}{m+6}$$