Leysa {l}{9x+4y=0}{-8x-5y=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 4 y = 0 } \\ { - 8 x - 5 y = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=0$$

$$y=0$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$9x+4y=0,-8x-5y=0$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$9x+4y=0$$

Dragðu 4y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$9x=-4y$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=\frac{1}{9}\left(-4\right)y$$

Margfaldaðu \frac{1}{9} sinnum -4y.

$$x=-\frac{4}{9}y$$

Settu -\frac{4y}{9} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -8x-5y=0.

$$-8\left(-\frac{4}{9}\right)y-5y=0$$

Margfaldaðu -8 sinnum -\frac{4y}{9}.

$$\frac{32}{9}y-5y=0$$

Leggðu \frac{32y}{9} saman við -5y.

$$-\frac{13}{9}y=0$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{13}{9}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í x=-\frac{4}{9}y. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=0$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$9x+4y=0,-8x-5y=0$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&4\\-8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9\left(-5\right)-4\left(-8\right)}&-\frac{4}{9\left(-5\right)-4\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{9\left(-5\right)-4\left(-8\right)}&\frac{9}{9\left(-5\right)-4\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{13}&\frac{4}{13}\\-\frac{8}{13}&-\frac{9}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=0,y=0$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$9x+4y=0,-8x-5y=0$$

Til að gera 9x og -8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 9.

$$-8\times 9x-8\times 4y=0,9\left(-8\right)x+9\left(-5\right)y=0$$

Einfaldaðu.

$$-72x-32y=0,-72x-45y=0$$

Dragðu -72x-45y=0 frá -72x-32y=0 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-72x+72x-32y+45y=0$$

Leggðu -72x saman við 72x. Liðirnir -72x og 72x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-32y+45y=0$$

Leggðu -32y saman við 45y.

$$13y=0$$

Deildu báðum hliðum með 13.

$$y=0$$

Skiptu 0 út fyrir y í -8x-5y=0. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-8x=0$$

Deildu báðum hliðum með -8.

$$x=0$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=0,y=0$$