Leysa {l}{7x-5y=-22}{4x+3y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 5 y = - 22 } \\ { 4 x + 3 y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-1$$

$$y=3$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x-5y=-22$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$7x=5y-22$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(5y-22\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum 5y-22.

$$x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}$$

Settu \frac{5y-22}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 4x+3y=5.

$$4\left(\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}\right)+3y=5$$

Margfaldaðu 4 sinnum \frac{5y-22}{7}.

$$\frac{20}{7}y-\frac{88}{7}+3y=5$$

Leggðu \frac{20y}{7} saman við 3y.

$$\frac{41}{7}y-\frac{88}{7}=5$$

Leggðu \frac{88}{7} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$\frac{41}{7}y=\frac{123}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{41}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í x=\frac{5}{7}y-\frac{22}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{5}{7}\times 3-\frac{22}{7}$$

Margfaldaðu \frac{5}{7} sinnum 3.

$$x=\frac{15-22}{7}$$

Leggðu -\frac{22}{7} saman við \frac{15}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=3$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{7}{7\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}&\frac{5}{41}\\-\frac{4}{41}&\frac{7}{41}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{41}\left(-22\right)+\frac{5}{41}\times 5\\-\frac{4}{41}\left(-22\right)+\frac{7}{41}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-1,y=3$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x-5y=-22,4x+3y=5$$

Til að gera 7x og 4x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 4 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$4\times 7x+4\left(-5\right)y=4\left(-22\right),7\times 4x+7\times 3y=7\times 5$$

Einfaldaðu.

$$28x-20y=-88,28x+21y=35$$

Dragðu 28x+21y=35 frá 28x-20y=-88 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$28x-28x-20y-21y=-88-35$$

Leggðu 28x saman við -28x. Liðirnir 28x og -28x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-20y-21y=-88-35$$

Leggðu -20y saman við -21y.

$$-41y=-88-35$$

Leggðu -88 saman við -35.

$$-41y=-123$$

Deildu báðum hliðum með -41.

$$y=3$$

Skiptu 3 út fyrir y í 4x+3y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$4x+3\times 3=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum 3.

$$4x+9=5$$

Dragðu 9 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$4x=-4$$

Deildu báðum hliðum með 4.

$$x=-1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-1,y=3$$