Leysa {l}{7x+5y=-3}{-9x+y=-11}

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = - 3 } \\ { - 9 x + y = - 11 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$7x+5y=-3$$

Dragðu 5y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$7x=-5y-3$$

Deildu báðum hliðum með 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y-3\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{7} sinnum -5y-3.

$$x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}$$

Settu \frac{-5y-3}{7} inn fyrir x í hinni jöfnunni, -9x+y=-11.

$$-9\left(-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}\right)+y=-11$$

Margfaldaðu -9 sinnum \frac{-5y-3}{7}.

$$\frac{45}{7}y+\frac{27}{7}+y=-11$$

Leggðu \frac{45y}{7} saman við y.

$$\frac{52}{7}y+\frac{27}{7}=-11$$

Dragðu \frac{27}{7} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{52}{7}y=-\frac{104}{7}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{52}{7}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=-\frac{5}{7}y-\frac{3}{7}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{5}{7}\left(-2\right)-\frac{3}{7}$$

Margfaldaðu -\frac{5}{7} sinnum -2.

$$x=\frac{10-3}{7}$$

Leggðu -\frac{3}{7} saman við \frac{10}{7} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\-9&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-5\left(-9\right)}&-\frac{5}{7-5\left(-9\right)}\\-\frac{-9}{7-5\left(-9\right)}&\frac{7}{7-5\left(-9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}&-\frac{5}{52}\\\frac{9}{52}&\frac{7}{52}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\-11\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{52}\left(-3\right)-\frac{5}{52}\left(-11\right)\\\frac{9}{52}\left(-3\right)+\frac{7}{52}\left(-11\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=1,y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$7x+5y=-3,-9x+y=-11$$

Til að gera 7x og -9x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -9 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 7.

$$-9\times 7x-9\times 5y=-9\left(-3\right),7\left(-9\right)x+7y=7\left(-11\right)$$

Einfaldaðu.

$$-63x-45y=27,-63x+7y=-77$$

Dragðu -63x+7y=-77 frá -63x-45y=27 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-63x+63x-45y-7y=27+77$$

Leggðu -63x saman við 63x. Liðirnir -63x og 63x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-45y-7y=27+77$$

Leggðu -45y saman við -7y.

$$-52y=27+77$$

Leggðu 27 saman við 77.

$$-52y=104$$

Deildu báðum hliðum með -52.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í -9x+y=-11. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-9x-2=-11$$

Leggðu 2 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-9x=-9$$

Deildu báðum hliðum með -9.

$$x=1$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=1,y=-2$$