Leysa {l}{6x-6y=-30}{-10x+6y=22}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 6 y = - 30 } \\ { - 10 x + 6 y = 22 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=2$$

$$y=7$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-6y=-30$$

Leggðu 6y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=6y-30$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(6y-30\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum -30+6y.

$$x=y-5$$

Settu y-5 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -10x+6y=22.

$$-10\left(y-5\right)+6y=22$$

Margfaldaðu -10 sinnum y-5.

$$-10y+50+6y=22$$

Leggðu -10y saman við 6y.

$$-4y+50=22$$

Dragðu 50 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-4y=-28$$

Deildu báðum hliðum með -4.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í x=y-5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=7-5$$

Leggðu -5 saman við 7.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=7$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-6\\-10&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&-\frac{-6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\\-\frac{-10}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}&\frac{6}{6\times 6-\left(-6\left(-10\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{5}{12}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-30\\22\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\\-\frac{5}{12}\left(-30\right)-\frac{1}{4}\times 22\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\7\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=2,y=7$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-6y=-30,-10x+6y=22$$

Til að gera 6x og -10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$-10\times 6x-10\left(-6\right)y=-10\left(-30\right),6\left(-10\right)x+6\times 6y=6\times 22$$

Einfaldaðu.

$$-60x+60y=300,-60x+36y=132$$

Dragðu -60x+36y=132 frá -60x+60y=300 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-60x+60x+60y-36y=300-132$$

Leggðu -60x saman við 60x. Liðirnir -60x og 60x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$60y-36y=300-132$$

Leggðu 60y saman við -36y.

$$24y=300-132$$

Leggðu 300 saman við -132.

$$24y=168$$

Deildu báðum hliðum með 24.

$$y=7$$

Skiptu 7 út fyrir y í -10x+6y=22. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-10x+6\times 7=22$$

Margfaldaðu 6 sinnum 7.

$$-10x+42=22$$

Dragðu 42 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-10x=-20$$

Deildu báðum hliðum með -10.

$$x=2$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=2,y=7$$