Leysa {l}{6x=7y+4}{2x-14y+1=0}

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x = 7 y + 4 } \\ { 2 x - 14 y + 1 = 0 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=\frac{9}{10}=0.9$$

$$y=\frac{1}{5}=0.2$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 7y frá báðum hliðum.

$$6x-7y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$2x-14y=-1$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$6x-7y=4$$

Leggðu 7y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6x=7y+4$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{1}{6}\left(7y+4\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{6} sinnum 7y+4.

$$x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}$$

Settu \frac{7y}{6}+\frac{2}{3} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x-14y=-1.

$$2\left(\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}\right)-14y=-1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{7y}{6}+\frac{2}{3}.

$$\frac{7}{3}y+\frac{4}{3}-14y=-1$$

Leggðu \frac{7y}{3} saman við -14y.

$$-\frac{35}{3}y+\frac{4}{3}=-1$$

Dragðu \frac{4}{3} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{35}{3}y=-\frac{7}{3}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{35}{3}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{1}{5}$$

Skiptu \frac{1}{5} út fyrir y í x=\frac{7}{6}y+\frac{2}{3}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{7}{6}\times \frac{1}{5}+\frac{2}{3}$$

Margfaldaðu \frac{7}{6} sinnum \frac{1}{5} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=\frac{7}{30}+\frac{2}{3}$$

Leggðu \frac{2}{3} saman við \frac{7}{30} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{9}{10}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 7y frá báðum hliðum.

$$6x-7y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$2x-14y=-1$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-7\\2&-14\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{14}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}&\frac{6}{6\left(-14\right)-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{1}{10}\\\frac{1}{35}&-\frac{3}{35}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 4-\frac{1}{10}\left(-1\right)\\\frac{1}{35}\times 4-\frac{3}{35}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}\\\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 7y frá báðum hliðum.

$$6x-7y=4$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Dragðu 1 frá báðum hliðum. Allt sem dregið er frá núlli skilar sjálfu sér sem mínustölu.

$$2x-14y=-1$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$6x-7y=4,2x-14y=-1$$

Til að gera 6x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 6.

$$2\times 6x+2\left(-7\right)y=2\times 4,6\times 2x+6\left(-14\right)y=6\left(-1\right)$$

Einfaldaðu.

$$12x-14y=8,12x-84y=-6$$

Dragðu 12x-84y=-6 frá 12x-14y=8 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$12x-12x-14y+84y=8+6$$

Leggðu 12x saman við -12x. Liðirnir 12x og -12x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-14y+84y=8+6$$

Leggðu -14y saman við 84y.

$$70y=8+6$$

Leggðu 8 saman við 6.

$$70y=14$$

Deildu báðum hliðum með 70.

$$y=\frac{1}{5}$$

Skiptu \frac{1}{5} út fyrir y í 2x-14y=-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-14\times \frac{1}{5}=-1$$

Margfaldaðu -14 sinnum \frac{1}{5}.

$$2x-\frac{14}{5}=-1$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=\frac{9}{5}$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=\frac{9}{10}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{9}{10},y=\frac{1}{5}$$