Leysa {l}{5y=-13-4x}{3x+6y=13}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y = - 13 - 4 x } \\ { 3 x + 6 y = 13 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir y, x

$$x = -\frac{143}{9} = -15\frac{8}{9} \approx -15.888888889$$

$$y = \frac{91}{9} = 10\frac{1}{9} \approx 10.111111111$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4x við báðar hliðar.

$$5y+4x=-13$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Veldu eina jöfnuna og leystu y með því að einangra y vinstra megin við samasemmerkið.

$$5y+4x=-13$$

Dragðu 4x frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-4x-13$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=\frac{1}{5}\left(-4x-13\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -4x-13.

$$y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}$$

Settu \frac{-4x-13}{5} inn fyrir y í hinni jöfnunni, 6y+3x=13.

$$6\left(-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}\right)+3x=13$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{-4x-13}{5}.

$$-\frac{24}{5}x-\frac{78}{5}+3x=13$$

Leggðu -\frac{24x}{5} saman við 3x.

$$-\frac{9}{5}x-\frac{78}{5}=13$$

Leggðu \frac{78}{5} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-\frac{9}{5}x=\frac{143}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{9}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Skiptu -\frac{143}{9} út fyrir x í y=-\frac{4}{5}x-\frac{13}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$y=-\frac{4}{5}\left(-\frac{143}{9}\right)-\frac{13}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{4}{5} sinnum -\frac{143}{9} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$y=\frac{572}{45}-\frac{13}{5}$$

Leggðu -\frac{13}{5} saman við \frac{572}{45} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$y=\frac{91}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4x við báðar hliðar.

$$5y+4x=-13$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&4\\6&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-4\times 6}&-\frac{4}{5\times 3-4\times 6}\\-\frac{6}{5\times 3-4\times 6}&\frac{5}{5\times 3-4\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&\frac{4}{9}\\\frac{2}{3}&-\frac{5}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-13\\13\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\left(-13\right)+\frac{4}{9}\times 13\\\frac{2}{3}\left(-13\right)-\frac{5}{9}\times 13\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{91}{9}\\-\frac{143}{9}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna y og x.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Bættu 4x við báðar hliðar.

$$5y+4x=-13$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5y+4x=-13,6y+3x=13$$

Til að gera 5y og 6y jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$6\times 5y+6\times 4x=6\left(-13\right),5\times 6y+5\times 3x=5\times 13$$

Einfaldaðu.

$$30y+24x=-78,30y+15x=65$$

Dragðu 30y+15x=65 frá 30y+24x=-78 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30y-30y+24x-15x=-78-65$$

Leggðu 30y saman við -30y. Liðirnir 30y og -30y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$24x-15x=-78-65$$

Leggðu 24x saman við -15x.

$$9x=-78-65$$

Leggðu -78 saman við -65.

$$9x=-143$$

Deildu báðum hliðum með 9.

$$x=-\frac{143}{9}$$

Skiptu -\frac{143}{9} út fyrir x í 6y+3x=13. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$6y+3\left(-\frac{143}{9}\right)=13$$

Margfaldaðu 3 sinnum -\frac{143}{9}.

$$6y-\frac{143}{3}=13$$

Leggðu \frac{143}{3} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$6y=\frac{182}{3}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$y=\frac{91}{9}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$y=\frac{91}{9},x=-\frac{143}{9}$$