Leysa {l}{5x-y=8}{10x+3y=6}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-y=8$$

Leggðu y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=y+8$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum y+8.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Settu \frac{8+y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

Margfaldaðu 10 sinnum \frac{8+y}{5}.

$$2y+16+3y=6$$

Leggðu 2y saman við 3y.

$$5y+16=6$$

Dragðu 16 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5y=-10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -2.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Leggðu \frac{8}{5} saman við -\frac{2}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{6}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Til að gera 5x og 10x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 10 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Einfaldaðu.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

Dragðu 50x+15y=30 frá 50x-10y=80 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

Leggðu 50x saman við -50x. Liðirnir 50x og -50x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-10y-15y=80-30$$

Leggðu -10y saman við -15y.

$$-25y=80-30$$

Leggðu 80 saman við -30.

$$-25y=50$$

Deildu báðum hliðum með -25.

$$y=-2$$

Skiptu -2 út fyrir y í 10x+3y=6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

Margfaldaðu 3 sinnum -2.

$$10x-6=6$$

Leggðu 6 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$10x=12$$

Deildu báðum hliðum með 10.

$$x=\frac{6}{5}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$