Leysa {l}{5x-5y=-5}{-5x+6y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 5 y = - 5 } \\ { - 5 x + 6 y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=-5$$

$$y=-4$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-5y=-5$$

Leggðu 5y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=5y-5$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(5y-5\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -5+5y.

$$x=y-1$$

Settu y-1 inn fyrir x í hinni jöfnunni, -5x+6y=1.

$$-5\left(y-1\right)+6y=1$$

Margfaldaðu -5 sinnum y-1.

$$-5y+5+6y=1$$

Leggðu -5y saman við 6y.

$$y+5=1$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í x=y-1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-4-1$$

Leggðu -1 saman við -4.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=-4$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-5\\-5&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&-\frac{-5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}&\frac{5}{5\times 6-\left(-5\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\left(-5\right)+1\\-5+1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-4\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=-5,y=-4$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-5y=-5,-5x+6y=1$$

Til að gera 5x og -5x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með -5 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$-5\times 5x-5\left(-5\right)y=-5\left(-5\right),5\left(-5\right)x+5\times 6y=5$$

Einfaldaðu.

$$-25x+25y=25,-25x+30y=5$$

Dragðu -25x+30y=5 frá -25x+25y=25 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$-25x+25x+25y-30y=25-5$$

Leggðu -25x saman við 25x. Liðirnir -25x og 25x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$25y-30y=25-5$$

Leggðu 25y saman við -30y.

$$-5y=25-5$$

Leggðu 25 saman við -5.

$$-5y=20$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$y=-4$$

Skiptu -4 út fyrir y í -5x+6y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$-5x+6\left(-4\right)=1$$

Margfaldaðu 6 sinnum -4.

$$-5x-24=1$$

Leggðu 24 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$-5x=25$$

Deildu báðum hliðum með -5.

$$x=-5$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=-5,y=-4$$