Leysa {l}{5x-3y=18}{2x+y=5}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 3 y = 18 } \\ { 2 x + y = 5 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=18$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+18$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+18\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 18+3y.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}$$

Settu \frac{18+3y}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=5.

$$2\left(\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}\right)+y=5$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{18+3y}{5}.

$$\frac{6}{5}y+\frac{36}{5}+y=5$$

Leggðu \frac{6y}{5} saman við y.

$$\frac{11}{5}y+\frac{36}{5}=5$$

Dragðu \frac{36}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{11}{5}y=-\frac{11}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{11}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{18}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\left(-1\right)+\frac{18}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum -1.

$$x=\frac{-3+18}{5}$$

Leggðu \frac{18}{5} saman við -\frac{3}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{5-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{5-\left(-3\times 2\right)}&\frac{5}{5-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{2}{11}&\frac{5}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 18+\frac{3}{11}\times 5\\-\frac{2}{11}\times 18+\frac{5}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=3,y=-1$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=18,2x+y=5$$

Til að gera 5x og 2x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 2 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$2\times 5x+2\left(-3\right)y=2\times 18,5\times 2x+5y=5\times 5$$

Einfaldaðu.

$$10x-6y=36,10x+5y=25$$

Dragðu 10x+5y=25 frá 10x-6y=36 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$10x-10x-6y-5y=36-25$$

Leggðu 10x saman við -10x. Liðirnir 10x og -10x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-6y-5y=36-25$$

Leggðu -6y saman við -5y.

$$-11y=36-25$$

Leggðu 36 saman við -25.

$$-11y=11$$

Deildu báðum hliðum með -11.

$$y=-1$$

Skiptu -1 út fyrir y í 2x+y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$2x-1=5$$

Leggðu 1 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$2x=6$$

Deildu báðum hliðum með 2.

$$x=3$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=3,y=-1$$