Leysa {l}{5x-2y=10}{x+y=9}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 2 y = 10 } \\ { x + y = 9 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=4$$

$$y=5$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-2y=10,x+y=9$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-2y=10$$

Leggðu 2y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=2y+10$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(2y+10\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 10+2y.

$$x=\frac{2}{5}y+2$$

Settu \frac{2y}{5}+2 inn fyrir x í hinni jöfnunni, x+y=9.

$$\frac{2}{5}y+2+y=9$$

Leggðu \frac{2y}{5} saman við y.

$$\frac{7}{5}y+2=9$$

Dragðu 2 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{7}{5}y=7$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{7}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x=\frac{2}{5}y+2. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{2}{5}\times 5+2$$

Margfaldaðu \frac{2}{5} sinnum 5.

$$x=2+2$$

Leggðu 2 saman við 2.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=5$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-2y=10,x+y=9$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{5-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{5-\left(-2\right)}&\frac{5}{5-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{2}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{5}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\9\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 10+\frac{2}{7}\times 9\\-\frac{1}{7}\times 10+\frac{5}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=4,y=5$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-2y=10,x+y=9$$

Til að gera 5x og x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 1 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$5x-2y=10,5x+5y=5\times 9$$

Einfaldaðu.

$$5x-2y=10,5x+5y=45$$

Dragðu 5x+5y=45 frá 5x-2y=10 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-5x-2y-5y=10-45$$

Leggðu 5x saman við -5x. Liðirnir 5x og -5x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-2y-5y=10-45$$

Leggðu -2y saman við -5y.

$$-7y=10-45$$

Leggðu 10 saman við -45.

$$-7y=-35$$

Deildu báðum hliðum með -7.

$$y=5$$

Skiptu 5 út fyrir y í x+y=9. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x+5=9$$

Dragðu 5 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$x=4$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=4,y=5$$