Leysa {l}{5x-14=3y}{7(3x-2y)=35}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 14 = 3 y } \\ { 7 ( 3 x - 2 y ) = 35 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=13$$

$$y=17$$

Skref með innsetningu

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$5x-14-3y=0$$

Bættu 14 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x-3y=14$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Deildu 35 með 7 til að fá 5.

$$3x-2y=5$$

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x-3y=14$$

Leggðu 3y saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$5x=3y+14$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(3y+14\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum 3y+14.

$$x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}$$

Settu \frac{3y+14}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 3x-2y=5.

$$3\left(\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}\right)-2y=5$$

Margfaldaðu 3 sinnum \frac{3y+14}{5}.

$$\frac{9}{5}y+\frac{42}{5}-2y=5$$

Leggðu \frac{9y}{5} saman við -2y.

$$-\frac{1}{5}y+\frac{42}{5}=5$$

Dragðu \frac{42}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{1}{5}y=-\frac{17}{5}$$

Margfaldaðu báðar hliðar með -5.

$$y=17$$

Skiptu 17 út fyrir y í x=\frac{3}{5}y+\frac{14}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=\frac{3}{5}\times 17+\frac{14}{5}$$

Margfaldaðu \frac{3}{5} sinnum 17.

$$x=\frac{51+14}{5}$$

Leggðu \frac{14}{5} saman við \frac{51}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=13$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=13,y=17$$

Skref með fylkjum

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$5x-14-3y=0$$

Bættu 14 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x-3y=14$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Deildu 35 með 7 til að fá 5.

$$3x-2y=5$$

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-3\\3&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}&\frac{5}{5\left(-2\right)-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-3\\3&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}14\\5\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 14-3\times 5\\3\times 14-5\times 5\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\17\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=13,y=17$$

Skref með útilokun

Íhugaðu fyrstu jöfnuna. Dragðu 3y frá báðum hliðum.

$$5x-14-3y=0$$

Bættu 14 við báðar hliðar. Allt sem er lagt saman við núll skilar sjálfu sér.

$$5x-3y=14$$

Íhugaðu aðra jöfnuna. Deildu báðum hliðum með 7.

$$3x-2y=\frac{35}{7}$$

Deildu 35 með 7 til að fá 5.

$$3x-2y=5$$

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x-3y=14,3x-2y=5$$

Til að gera 5x og 3x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 3 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$3\times 5x+3\left(-3\right)y=3\times 14,5\times 3x+5\left(-2\right)y=5\times 5$$

Einfaldaðu.

$$15x-9y=42,15x-10y=25$$

Dragðu 15x-10y=25 frá 15x-9y=42 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$15x-15x-9y+10y=42-25$$

Leggðu 15x saman við -15x. Liðirnir 15x og -15x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$-9y+10y=42-25$$

Leggðu -9y saman við 10y.

$$y=42-25$$

Leggðu 42 saman við -25.

$$y=17$$

Skiptu 17 út fyrir y í 3x-2y=5. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$3x-2\times 17=5$$

Margfaldaðu -2 sinnum 17.

$$3x-34=5$$

Leggðu 34 saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$3x=39$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=13$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=13,y=17$$