Leysa {l}{5x+y=9.95}{6x+6y=18.60}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 9.95 } \\ { 6 x + 6 y = 18.60 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=1.7125$$

$$y=1.3875$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+y=9.95$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-y+9.95$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+9.95\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -y+9.95.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}$$

Settu -\frac{y}{5}+\frac{199}{100} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 6x+6y=18.6.

$$6\left(-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}\right)+6y=18.6$$

Margfaldaðu 6 sinnum -\frac{y}{5}+\frac{199}{100}.

$$-\frac{6}{5}y+\frac{597}{50}+6y=18.6$$

Leggðu -\frac{6y}{5} saman við 6y.

$$\frac{24}{5}y+\frac{597}{50}=18.6$$

Dragðu \frac{597}{50} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{24}{5}y=\frac{333}{50}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{24}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{111}{80}$$

Skiptu \frac{111}{80} út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y+\frac{199}{100}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\times \frac{111}{80}+\frac{199}{100}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum \frac{111}{80} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{111}{400}+\frac{199}{100}$$

Leggðu \frac{199}{100} saman við -\frac{111}{400} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{137}{80}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\6&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5\times 6-6}&-\frac{1}{5\times 6-6}\\-\frac{6}{5\times 6-6}&\frac{5}{5\times 6-6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{24}\\-\frac{1}{4}&\frac{5}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9.95\\18.6\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 9.95-\frac{1}{24}\times 18.6\\-\frac{1}{4}\times 9.95+\frac{5}{24}\times 18.6\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{137}{80}\\\frac{111}{80}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+y=9.95,6x+6y=18.6$$

Til að gera 5x og 6x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 6 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$6\times 5x+6y=6\times 9.95,5\times 6x+5\times 6y=5\times 18.6$$

Einfaldaðu.

$$30x+6y=59.7,30x+30y=93$$

Dragðu 30x+30y=93 frá 30x+6y=59.7 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$30x-30x+6y-30y=59.7-93$$

Leggðu 30x saman við -30x. Liðirnir 30x og -30x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$6y-30y=59.7-93$$

Leggðu 6y saman við -30y.

$$-24y=59.7-93$$

Leggðu 59.7 saman við -93.

$$-24y=-33.3$$

Deildu báðum hliðum með -24.

$$y=\frac{111}{80}$$

Skiptu \frac{111}{80} út fyrir y í 6x+6y=18.6. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$6x+6\times \frac{111}{80}=18.6$$

Margfaldaðu 6 sinnum \frac{111}{80}.

$$6x+\frac{333}{40}=18.6$$

Dragðu \frac{333}{40} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$6x=\frac{411}{40}$$

Deildu báðum hliðum með 6.

$$x=\frac{137}{80}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{137}{80},y=\frac{111}{80}$$