Leysa {l}{5x+y=19}{2x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + y = 19 } \\ { 2 x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x=6$$

$$y=-11$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+y=19$$

Dragðu y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-y+19$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-y+19\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -y+19.

$$x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}$$

Settu \frac{-y+19}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 2x+y=1.

$$2\left(-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}\right)+y=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum \frac{-y+19}{5}.

$$-\frac{2}{5}y+\frac{38}{5}+y=1$$

Leggðu -\frac{2y}{5} saman við y.

$$\frac{3}{5}y+\frac{38}{5}=1$$

Dragðu \frac{38}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{33}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með \frac{3}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=-11$$

Skiptu -11 út fyrir y í x=-\frac{1}{5}y+\frac{19}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{1}{5}\left(-11\right)+\frac{19}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{1}{5} sinnum -11.

$$x=\frac{11+19}{5}$$

Leggðu \frac{19}{5} saman við \frac{11}{5} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=6$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-11$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5-2}&-\frac{1}{5-2}\\-\frac{2}{5-2}&\frac{5}{5-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}19\\1\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 19-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\times 19+\frac{5}{3}\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-11\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=6,y=-11$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+y=19,2x+y=1$$

Dragðu 2x+y=1 frá 5x+y=19 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$5x-2x+y-y=19-1$$

Leggðu y saman við -y. Liðirnir y og -y núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$5x-2x=19-1$$

Leggðu 5x saman við -2x.

$$3x=19-1$$

Leggðu 19 saman við -1.

$$3x=18$$

Deildu báðum hliðum með 3.

$$x=6$$

Skiptu 6 út fyrir x í 2x+y=1. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst y strax.

$$2\times 6+y=1$$

Margfaldaðu 2 sinnum 6.

$$12+y=1$$

Dragðu 12 frá báðum hliðum jöfnunar.

$$y=-11$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=6,y=-11$$