Leysa {l}{5x+7y=71}{8x-3y=10}

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x + 7 y = 71 } \\ { 8 x - 3 y = 10 } \end{array} \right.$$

Leystu fyrir x, y

$$x = \frac{283}{71} = 3\frac{70}{71} \approx 3.985915493$$

$$y = \frac{518}{71} = 7\frac{21}{71} \approx 7.295774648$$

Skref með innsetningu

Til að leysa jöfnupar með innsetningu skal fyrst leysa eina jöfnuna fyrir eina breytuna. Síðan skal setja niðurstöðuna inn fyrir breytuna í hinni jöfnunni.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Veldu eina jöfnuna og leystu x með því að einangra x vinstra megin við samasemmerkið.

$$5x+7y=71$$

Dragðu 7y frá báðum hliðum jöfnunar.

$$5x=-7y+71$$

Deildu báðum hliðum með 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(-7y+71\right)$$

Margfaldaðu \frac{1}{5} sinnum -7y+71.

$$x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}$$

Settu \frac{-7y+71}{5} inn fyrir x í hinni jöfnunni, 8x-3y=10.

$$8\left(-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}\right)-3y=10$$

Margfaldaðu 8 sinnum \frac{-7y+71}{5}.

$$-\frac{56}{5}y+\frac{568}{5}-3y=10$$

Leggðu -\frac{56y}{5} saman við -3y.

$$-\frac{71}{5}y+\frac{568}{5}=10$$

Dragðu \frac{568}{5} frá báðum hliðum jöfnunar.

$$-\frac{71}{5}y=-\frac{518}{5}$$

Deildu í báðar hliðar jöfnunar með -\frac{71}{5}. Þetta skilar sömu niðurstöðu og að margfalda báðar hliðar með margföldunarandhverfu brotsins.

$$y=\frac{518}{71}$$

Skiptu \frac{518}{71} út fyrir y í x=-\frac{7}{5}y+\frac{71}{5}. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$x=-\frac{7}{5}\times \frac{518}{71}+\frac{71}{5}$$

Margfaldaðu -\frac{7}{5} sinnum \frac{518}{71} með því að margfalda teljara sinnum teljara og samnefnara sinnum samnefnara. Lækkaðu svo brotið í lægstu liði, ef það er hægt.

$$x=-\frac{3626}{355}+\frac{71}{5}$$

Leggðu \frac{71}{5} saman við -\frac{3626}{355} með því að finna samnefnara og leggja teljarana saman. Minnkaðu því næst brotið um lægsta mögulega lið.

$$x=\frac{283}{71}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

Skref með fylkjum

Settu jöfnurnar í staðlað form og notaðu svo fylki til að leysa jöfnuhneppið.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Skrifaðu jöfnurnar á fylkjaformi.

$$\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu vinstri hlið jöfnunnar með andhverfu fylkis \left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Margfeldi fylkis og andhverfu þess er einingarfylki.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin vinstra megin við samasemmerkið.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&7\\8&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Fyrir 2\times 2-fylkið \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) er andhverfa fylkið \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), þannig að hægt er að endurrita fylkisjöfnuna sem fylkismargföldunardæmi.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{5\left(-3\right)-7\times 8}&-\frac{7}{5\left(-3\right)-7\times 8}\\-\frac{8}{5\left(-3\right)-7\times 8}&\frac{5}{5\left(-3\right)-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}&\frac{7}{71}\\\frac{8}{71}&-\frac{5}{71}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}71\\10\end{matrix}\right)$$

Margfaldaðu fylkin.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{71}\times 71+\frac{7}{71}\times 10\\\frac{8}{71}\times 71-\frac{5}{71}\times 10\end{matrix}\right)$$

Reiknaðu.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{283}{71}\\\frac{518}{71}\end{matrix}\right)$$

Dragðu út stuðul fylkjanna x og y.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$

Skref með útilokun

Til að nota útilokun við lausn verða stuðlar einnar breytunnar að vera eins í báðum jöfnunum til að breytan núllist út þegar ein jafna er dregin frá annarri.

$$5x+7y=71,8x-3y=10$$

Til að gera 5x og 8x jafnt skal margfalda alla liði á hverri hlið fyrstu jöfnunnar með 8 og alla liði á hverri hlið annarrar jöfnunnar með 5.

$$8\times 5x+8\times 7y=8\times 71,5\times 8x+5\left(-3\right)y=5\times 10$$

Einfaldaðu.

$$40x+56y=568,40x-15y=50$$

Dragðu 40x-15y=50 frá 40x+56y=568 með því að draga frá líka liði sitt hvorum megin við samasemmerkið.

$$40x-40x+56y+15y=568-50$$

Leggðu 40x saman við -40x. Liðirnir 40x og -40x núlla hvorn annan út, sem skilur eftir jöfnu með einungis eina breytu sem hægt er að leysa.

$$56y+15y=568-50$$

Leggðu 56y saman við 15y.

$$71y=568-50$$

Leggðu 568 saman við -50.

$$71y=518$$

Deildu báðum hliðum með 71.

$$y=\frac{518}{71}$$

Skiptu \frac{518}{71} út fyrir y í 8x-3y=10. Þar sem jafnan sem af þessu leiðir inniheldur einungis eina breytu geturðu leyst x strax.

$$8x-3\times \frac{518}{71}=10$$

Margfaldaðu -3 sinnum \frac{518}{71}.

$$8x-\frac{1554}{71}=10$$

Leggðu \frac{1554}{71} saman við báðar hliðar jöfnunar.

$$8x=\frac{2264}{71}$$

Deildu báðum hliðum með 8.

$$x=\frac{283}{71}$$

Leyst var úr kerfinu.

$$x=\frac{283}{71},y=\frac{518}{71}$$